【斐波那契函数的定义】

    斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=1，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。

【用递归求解斐波那契函数的弊端】

    斐波那契函数用递归实现如下面的代码：

    计算斐波那契的自然递归程序效率时很低的，上面的程序虽然写法简单，看上去时递归的聪明的使用，但其实效率是及其低下的。特别是当n=40以后，效率衰减的特别明显。为了计算 fib( n ) ，需存在一个对 fib( n - 1 ) 和 fib( n - 2 ) 的调用，然而，由于计算F fib( n - 1 )又需要递归地调用 fib( n - 2 ) 和 fib( n - 3 )，因此 fib( n - 2 ) 被计算了两遍，跟踪整个算法，可以发现 fib( n - 3 )被计算了33次，fib( n - 4 )被计算了55次，fib( n - 5 )被计算了88次。

                             图例-跟踪斐波那契数的递归计算

    程序之所以效率低下是因存在大量的冗余的工作要做，这违反了合成效益法则（求解一个问题的同一实例是，切勿在不同的递归调用中做重复性工作），在第一次调用fib( n - 1 )时，其实在某处已经计算了fib( n - 2 )，fib( n - 2 )的信息没有被存储，导致f调用fib( n - 2 )时，又做了重复性计算，这样递归重复冗余的计算导致巨大的运行时间。

【用for循环计算代替递归】

    由于计算 fib( n ) 所需要的是 fib( n - 1 )和fib( n - 2 )，因此，把最近算出2个的斐波那契数记录下来，以避免重复的计算。for循环计算斐波那契数代码如下：

【使用递归的四条基本法则】

    使用递归时编写程序时，要遵循以下4条法则，不然很容易编写出效率很低程序。

    11、基准情形。必须总要有某些基准情形，它无需递归就能解出。

    2、不断推进、对于需要使用递归求解的情形、每一次递归调用必须都必须使状况向一种基准情形推进。

    3、设计法则。假设所有递归都能运行。

    4、合成效益法则。 求解一个问题的同一实力时，切勿在不同的递归调用中做重复性工作。

谨慎地使用递归之斐波那契递归实现的分析