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欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，

称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

如下是判断欧拉回路是否存在的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>

int set[1000 +10] , p[1000 +10];

int find(int x){
return set[x] == -1 ? x : find(set[x]);
}

int main(){
int n , i , j , m;
while(scanf("%d",&n),n){
scanf("%d",&m);
memset(p,0,sizeof p);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++)set[i] = -1;
while(m--){
int a,b,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
x = find(a);
y = find(b);
if(x != y)set[a] = b;
p[a]++;p[b]++;
}
int Q=0;
for(i = 1; i <= n ; i ++){
if(set[i] == -1)Q++;
if(p[i]%2)Q++;
}
if(Q>1)puts("0");
else puts("1");
}
}

程序实现一般是如下过程：

1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。

2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。

3.利用dfs输出路径。

比较好的题目是poj2337，判断单词是否连成一排的。

hdu3018

给出N个节点，M个边，问要遍历一遍所有的边，需要的最小group数目。
求一个图中最少几笔画，利用欧拉回路性质，首先得到图的每个强连通分支，然后计算每个强连通分支每个是否都是偶数度是的话，一笔解决，否的话，需要奇数度节点个数的1/2笔解决。（当一个节点度数为奇数时，我们只需要令它的度数为1，因为偶数的话直接抵消了，最后判断一个scc中未1的节点个数，除以2就得到该scc的最小笔画了）

poj1386

给出n个单词，如果一个单词的尾和另一个单词的头字符相等，那么可以相连，问这n个单词是否可以排成一列。欧拉路应用，构图：一个单词的头尾字母分别作为顶点，每输入一个word，该word的头指向word的尾画一个有向边，并且记录每个顶点的出入度。利用并查集先判断是否为scc，如果是的话则判断是否奇数度节点为0或者只有2个。

poj2230

题目大意：给出n个field及m个连接field的边，然后要求遍历每条边仅且2次，求出一条路径来。
这个题目典型欧拉回路，由于题目保证了肯定存在，所以我们直接dfs就行，首先有个小技巧是如何判断该条路是否走过了，也就是我们得对有向边进行标记。利用之前的结构
struct edge{
    int next;
    int to;
};
edge node[maxm];
int adj[maxv] = {-1}
每一条边对应了一个next，我们只需要对next标记就可以了。

poj2337
求欧拉路径和poj1386同一个题，只不过这个题目需要输出欧拉路径。
题目大意：给出一组单词，如果两个单词，一个单词的头和另一个单词的尾相同，则可以相连，例如abce, efdg,可以相连，问这组单词能否排成一排，如果可以求出字典序自小的那个。
构图：单词作为边，单词的头字母和尾字母分别作为顶点，读入一个单词，添加一条边，并且用邻接表来存边，首先利用并查集判断图是否连通，然后再判断是否可以构成欧拉通路或者回路，如果是回路，则从a开始找，找到第一个存在的字母，从这个字母遍历就行，如果是通路，则必须从出度大于入度1的那个顶点开始遍历。由于这个题目要求最小字典顺序，然后考虑我们建立邻接表的时候是采用头插法，那么我们如果将单词从小到大排序，由于我们遍历顶点肯定是从小的顶点开始的，这样遍历一个顶点的邻接边的时候就会从大到小访问这个顶点的边，无法满足字典最小，所以从大到小排序,遍历依node数组为准，每次遍历一条边设置该下标已访问过。