1.1 数制及其转换

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2024-07-19 00:46:16 219人阅读

N 进制

从广义上说，N 进制可说成是任意进制。但现实中0、1等进制是毫无意义的，所以 N 2，且为正整数。在此引出N进制的目的有两个；第一是借助N进制把十进制与其他进制的转换关系归纳在一起；第二是把进制间的转换关系向任意进制推广。

（1）十进制与 N 进制的相互转换法则

把十进制与二进制的相互转换关系向其他进制推广，可以得出以下结论：

① 二化十，多项式；十化二，整数除2取余，小数乘2取整。

② 三化十，多项式；十化三，整数除3取余，小数乘3取整。

③ 四化十，多项式；十化四，整数除4取余，小数乘4取整。

④ 八化十，多项式；十化八，整数除8取余，小数乘8取整。

……

可以归纳为：

“N 化十，多项式；十化 N，整数除 N 取余，小数乘 N 取整。”

（2）任意进制间的转换法则

任意进制间的转换是指三进制与五进制、六进制与九进制等之间的转换。按照十进制与 N 进制的转换法则，任意进制之间的转换可以以十进制为基准，建立任意进制之间的转换关系，并把这种转换关系称为“ N → 十，十 → N ”。比如，三化五，先将三进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为五进制数。

当两种进制的权为整幂倍时，如二进制与八进制、二进制与十六进制等，两种进制之间就可以直接利用“拼与拆”的法则进行转换。

借助 N 进制的概念可以根据需要定义一种进制，也可以把一种进制下的信息转换为另一种进制下的数据，以达到交换方便或信息保密的目的。比如，可以把26个英文字母定义为二十六进制或二十七进制，把十二生肖定义为十二进制或十三进制等。

难点分析

理解二进制、八进制、十六进制或其他任意进制，首先可以从我们最熟悉的十进制入手，分析并掌握十进制的特点，向其他进制推广，建立起二、八、十六及任意进制向十进制转换的方法。然后再从进位记数制共性出发，找出十进制向二、八、十六及任意进制转换的方法。此外，通过对二、八、十六进制的分析，可以得出二进制与八进制、十六进制存在着“亲缘”关系。理解并掌握上述3个问题的分析方法，就会很自然地得出记数制相互转换的若干便于记忆的法则。

法则1 二化十，多项式。即把二进制数（或八进制数、十六进制数及任意进制数）转换成十进制数，可将该数展开成一个多项式，然后再用十进制计算该多项式，即可完成转换。

法则2 十化二，整数除2取余；小数乘2取整。若是十进制整数转换为二进制数，可将该整数逐次用2去除，直到商得零为止，依次排列每次所得到的余数，即为十进制整数所对应的二进制数（将余数由后至前依次排列）。若十进制数是小数，可将该数逐次用2去乘，并依次排列每次相乘所得的整数，即为十进制小数所对应的二进制数（将整数由前至后依次排列为小数）。

值得注意的是，某些十进制小数进行十化二时，出现化不尽的问题，表现为小数部分总不会为0。例如，十进制的0.1、0.6等均化不尽。当出现十化二化不尽时，一般是根据要求取近似值。例如，按给定位取近似值，或者按给定位数，同时采用0舍1入的方法取近似值。

法则3 二化八，三位一拼；八化二，一拆为三。即把二进制数的3位拼成八进制数的一位，而八进制数的一位拆成二进制数的3位。

法则4 儿化十六，四位一拼；十六化二，一拆为四。即把二进制数的4位拼成十六进制数的一位，而十六进制数的一位拆成二进制数的4位。

1）N 进制的定义

N 进制是一种有 0～N-1，共 N 个基数字，逢 N 进一的有权记数制。基数字的任意排列，加上正号、负号、小数点可以构成 N 进制的整数、负数、整数、小数。

显然，当 N = 2 时，为二进制；当 N = 8 时，为八进制；当 N = 10 时，为十进制；当 N = 16 时，为十六进制；当 N = 24 时，为二十四进制，以此类推。

2）N 进制数的多项式表示

令为权系数，为权位，N 进制数可以表示为权系数与位权乘积之和的多项式：