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多项式相乘快速算法原理及相应C代码实现---用到fft
最近认真研究了一下算法导论里面的多项式乘法的快速计算问题，主要是用到了FFT，自己也实现了一下，总结如下。
1.多项式乘法
两个多项式相乘即为多项式乘法，例如：3*x^7+4*x^5+1*x^2+5与8*x^6+7*x^4+6*x^3+9两个式子相乘，会得到一个最高次数项为13的多项式。一般来说，普通的计算方法是：把A多项式中的每一项与B中多项式中的每一项相乘，得到n个多项式，再把每个多项式相加到一起，得到最终的结果，不妨假设A，B的最高次项都为n-1，长度都为n，那么计算最终的结果需要o(n^2)时间复杂度。而使用快速傅里叶变换（FFT），则可以将时间复杂度降低到o(nlog n)。这是因为，对一个复数序列做正/反快速傅里叶变换的时间复杂度都是o(nlog n)，而变换后的序列逐项相乘即为原序列做多项式乘法的结果（多项式乘法相当于卷积）。所以，FFT可以降低多项式相乘运算的时间复杂度，具体的解释和证明在《算法导论》或者其他任何一本相关的算法书中都有详细描述，在此不再赘述。另外，需要注意的是，一些其他的运算也可以转化成多项式乘法，进而利用FFT来加快运算。例如：1.数字乘法运算，和多项式乘法类似，A*B的操作就是用A每一位上的数字乘以B每一位上的数字。尤其是在大数乘法中，FFT可以大幅度加快运算。2.给定A到B的不同长度路径详细数据，B到C的不同路径长度详细数据，求A到C不同长度路径的数量。可以把A到B和B到C不同长度的路径看成不同次数的项，例如：A到B有3条长度为4,2条长度为5的路径，B到C有1条长度为2,4条长度为3的路径，那么A到C不同长度路径的数量等于(3*x^4+2*x^5)*(4*x^3+1*x^2)得到的各项的系数，转化成多项式相乘问题之后，就可以利用FFT来加快运算速度了。
2.FFT
大多数人应该是只需要会用FFT即可，但是这个算法比较基础，因此我自己编程实现了一下，总的代码只有150行左右，其实不算长，当然，对输入序列长度不是2的整数次幂这种情况我没有相应的预处理，算是偷懒了。其实只要对长度取一下对数即可，例如：输入长度如果是37，首先把37*2，拓展成74（这个是FFT必须的），然后对74取log2上取整即可，得到27=128，因此在74后面再添加54个0。
另外，需要注意的一点是，reverse函数在FFT和IFFT中是必须的，不过鉴于多项式乘法需要成对进行FFT和IFFT，所以在做多项式乘法的时候，reverse应该是可以省略的（当然，这个函数的耗时很小）。w的值应该提前计算出来，这样在FFT和IFFT中蝶形计算每一项的时候，就不用重复计算w了，可以节省很多时间。
具体FFT的原理和解释，可以查维基、信息论、数字信号处理、随机过程等任一领域的教科书。
3.代码
程序主要包括FFT，IFFT函数，以及一些复数运算
3.1复数的定义和相关运算定义
//复数struct Complex{ double real; double image;};Complex a1[MAX_SIZE],a2[MAX_SIZE],result[MAX_SIZE],w[MAX_SIZE];//复数相乘计算Complex operator*(Complex a,Complex b){ Complex r; r.real=a.real*b.real-a.image*b.image; r.image=a.real*b.image+a.image*b.real; return r;}//复数相加计算Complex operator+(Complex a,Complex b){ Complex r; r.real=a.real+b.real; r.image=a.image+b.image; return r;}//复数相减计算Complex operator-(Complex a,Complex b){ Complex r; r.real=a.real-b.real; r.image=a.image-b.image; return r;}//复数除法计算Complex operator/(Complex a,double b){ Complex r; r.real=a.real/b; r.image=a.image/b; return r;}//复数虚部反计算Complex operator~(Complex a){ Complex r; r.real=a.real; r.image=0-a.image; return r;}3.2FFT和IFFT函数及相关函数
其实FFT和IFFT的原理一样，只是IFFT多了一个除法步骤，也可以把两个合并成一个函数。Reverse用于重新排列输入数组的元素下标，例如输入数组长度为8，则0,1,2,3,4,5,6,7下标的元素经过重新排列后变为0,4,2,6,1,5,3,7下标的元素。Compute_W用于预先计算FFT中需要的w值。
//重新排列方法2，效率较高void Reverse(int* id,int size,int m){ for(int i=0;i<size;i++){ for(int j=0;j<(m+1)/2;j++){ int v1=(1<<(j)&i)<<(m-2*j-1); int v2=(1<<(m-j-1)&i)>>(m-2*j-1); id[i]|=(v1|v2); } }};//重新排列方法1，该方法是用pow函数效率比较低void Reverse(int* id,int size,int m){ for(int i=0;i<size;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ int exp=(i>>j)&1; id[i]+=exp*(int)pow((double)2,(double)(m-j-1)); } }};
//计算并存储需要乘的w值void Compute_W(Complex w[],int size){ for(int i=0;i<size/2;i++){ w[i].real=cos(2*PI*i/size); w[i].image=sin(2*PI*i/size); w[i+size/2].real=0-w[i].real; w[i+size/2].image=0-w[i].image; }};//快速傅里叶void FFT(Complex in[],int size){ int* id=new int[size]; memset(id,0,sizeof(int)*size); int m=log((double)size)/log((double)2); Reverse(id,size,m); //将输入重新排列，符合输出 Complex *resort= new Complex[size]; memset(resort,0,sizeof(Complex)*size); int i,j,k,s; for(i=0;i<size;i++) resort[i]=in[id[i]]; for(i=1;i<=m;i++){ s=(int)pow((double)2,(double)i); for(j=0;j<size/s;j++){ for(k=j*s;k<j*s+s/2;k++){ Complex k1= resort[k]+w[size/s*(k-j*s)]*resort[k+s/2]; resort[k+s/2]=resort[k]-w[size/s*(k-j*s)]*resort[k+s/2]; resort[k]=k1; } } } for(i=0;i<size;i++) in[i]=resort[i]; delete[] id; delete[] resort;};//快速逆傅里叶void IFFT(Complex in[],int size){ int* id=new int[size]; memset(id,0,sizeof(int)*size); int m=log((double)size)/log((double)2); Reverse(id,size,m); //将输入重新排列，符合输出 Complex *resort= new Complex[size]; memset(resort,0,sizeof(Complex)*size); int i,j,k,s; for(i=0;i<size;i++) resort[i]=in[id[i]]; for(i=1;i<=m;i++){ s=(int)pow((double)2,(double)i); for(j=0;j<size/s;j++){ for(k=j*s;k<j*s+s/2;k++){ Complex k1=(resort[k]+(~w[size/s*(k-j*s)])*resort[k+s/2]); resort[k+s/2]=(resort[k]-(~w[size/s*(k-j*s)])*resort[k+s/2]); resort[k]=k1; } } } for(i=0;i<size;i++) in[i]=resort[i]/size; delete[] id; delete[] resort;};3.3主函数
输入两个多项式的系数（长度必须都是2的整数次幂），输出两个多项式相乘的结果
int main(){ //输入两个多项式数列 int size,size1,size2,i; memset(a1,0,sizeof(a1)); memset(a2,0,sizeof(a2)); memset(w,0,sizeof(w)); memset(result,0,sizeof(result)); scanf("%d%d",&size1,&size2); for(i=0;i<size1;i++) scanf("%lf",&a1[i].real); for(i=0;i<size2;i++) scanf("%lf",&a2[i].real); size=size1>size2?size1*2:size2*2; Compute_W(w,size); FFT(a1,size); FFT(a2,size); for(i=0;i<size;i++) result[i]=a1[i]*a2[i]; IFFT(result,size); for(i=0;i<size1+size2-1;i++) printf("%.2lf ",result[i].real); printf("\n"); return 0;}下面是完整的代码
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