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[NOIP 2014复习]第五章:图论
一、最短路问题
1、图的存储方式
2、Floyd算法求多源最短路
3、Dijsktra算法求单源最短路
4、Bellman-Ford算法求单源最短路
5、SPFA求单源最短路
(1)Wikioi 1173 最优贸易
题目描述 Description
【问题描述】
C 国有n 个大城市和m 条道路,每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个
城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分
为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。
C 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价
格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息
之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城
市的标号从1~ n,阿龙决定从1 号城市出发,并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的
过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方
式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球,并在之后经过的另
一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游,他决定
这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有5 个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路
为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4,3,5,6,1。
阿龙可以选择如下一条线路:1->2->3->5,并在2 号城市以3 的价格买入水晶球,在3
号城市以5 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为2。
阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5,并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格
买入水晶球,在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为5。现在给出 n 个城市的水晶球价格,m 条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号
以及该条道路的通行情况)。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
输入描述 Input Description
第一行包含 2 个正整数n 和m,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行,每行有3 个正整数,x,y,z,每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1,
表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路;如果z=2,表示这条道路为城市x 和城市
y 之间的双向道路。
输出描述 Output Description
包含1 个整数,表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易,
则输出0。
样例输入 Sample Input
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
样例输出 Sample Output
5
数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据范围】
输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。
对于 10%的数据,1≤n≤6。
对于 30%的数据,1≤n≤100。
对于 50%的数据,不存在一条旅游路线,可以从一个城市出发,再回到这个城市。
对于 100%的数据,1≤n≤100000,1≤m≤500000,1≤x,y≤n,1≤z≤2,1≤各城市
水晶球价格≤100。
这个题可以用SPFA来做,不过需要对SPFA算法中的一些细节进行修改!要用SPFA求出从点1到i中最小的点权,从n到i中最大的点权(因为这样才能使贸易方案中卖水晶球的点在买水晶球的点的后面),边中不再有权,点带权,SPFA时,用数组maxCost[i]表示从n到i最大的点权,minCost[i]表示从1到n最小的点权,然后进行松弛操作!
SPFA完成后,如图所示,找到点A,使得maxCost[B]-minCost[A]最大,即答案。
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <queue> #define MAXV 500000 #define MAXE 100000 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; queue<int>q; struct edge { int u,v,next; }edges[MAXV],edges2[MAXV]; //正向边表、反向边表 int head[MAXE],last[MAXE],nCount=0,nCount2=0,n,m; int minCost[MAXE],maxCost[MAXE]; //minCost[i]=从第1点到i点之间的最小边,maxCost[i]=最大边 int value[MAXE]; bool inQueue[MAXE]; //inQueue[i]=true表示点i在队列内 void AddEdge(int U,int V) { edges[++nCount].u=U; edges[nCount].v=V; edges[nCount].next=head[U]; head[U]=nCount; } void AddEdge2(int U,int V) { edges2[++nCount2].u=U; edges2[nCount2].v=V; edges2[nCount2].next=last[U]; last[U]=nCount2; } int max(int a,int b) { if(a>b) return a; return b; } int min(int a,int b) { if(a<b) return a; return b; } void SPFA1() { while(!q.empty()) q.pop(); minCost[1]=value[1]; memset(inQueue,false,sizeof(inQueue)); q.push(1); inQueue[1]=true; while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); inQueue[u]=false; for(int p=head[u];p!=-1;p=edges[p].next) { int v=edges[p].v; if(minCost[u]>value[v]||minCost[v]>minCost[u]) { minCost[v]=min(value[v],minCost[u]); if(!inQueue[v]) { q.push(v); inQueue[v]=true; } } } } } void SPFA2() { while(!q.empty()) q.pop(); maxCost[n]=value[n]; memset(inQueue,false,sizeof(inQueue)); q.push(n); inQueue[n]=true; while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); inQueue[u]=false; for(int p=last[u];p!=-1;p=edges2[p].next) { int v=edges2[p].v; if(maxCost[u]<value[v]||maxCost[v]<maxCost[u]) { maxCost[v]=max(value[v],maxCost[u]); if(!inQueue[v]) { q.push(v); inQueue[v]=true; } } } } } int main() { int ans=-1; memset(head,-1,sizeof(head)); memset(last,-1,sizeof(last)); memset(minCost,INF,sizeof(minCost)); memset(maxCost,-1,sizeof(maxCost)); scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&value[i]); for(int i=1;i<=m;i++) { int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); AddEdge(a,b); AddEdge2(b,a); if(c==2) { AddEdge(b,a); AddEdge2(a,b); } } SPFA1(); SPFA2(); for(int i=1;i<=n;i++) if(ans<maxCost[i]-minCost[i]) ans=maxCost[i]-minCost[i]; printf("%d\n",ans); return 0; }
[NOIP 2014复习]第五章:图论