常用相似性度量(距离 相似系数)

在分类聚类算法,推荐系统中,常要用到两个输入变量(通常是特征向量的形式)距离的计算,即相似性度量.不同相似性度量对于算法的结果,有些时候,差异很大.因此,有必要根据输入数据的特征,选择一种合适的相似性度量方法.

令X=(x₁,x₂,..,x_n)^T,Y=(y₁,y₂,...y_n)^T为两个输入向量,

1.欧几里得距离(Euclidean distance)

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相当于高维空间内向量说表示的点到点之间的距离。
由于特征向量的各分量的量纲不一致，通常需要先对各分量进行标准化，使其与单位无关。
优点：简单,应用广泛(如果也算一个优点的话)
缺点：没有考虑分量之间的相关性,体现单一特征的多个分量会干扰结果。

2.马氏距离(Mahalanobis distance)

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C=E[(X-X平均)(Y-Y平均)]为该类输入向量X的协方差矩阵.(T为转置符号，E取平均时是样本因此为n-1)

适用场合：
1)度量两个服从同一分布并且其协方差矩阵为C的随机变量X与Y的差异程度
2)度量X与某一类的均值向量的差异程度,判别样本的归属。此时，Y为类均值向量.
优点：
1）独立于分量量纲
2）排除了样本之间的相关性影响。
缺点：不同的特征不能差别对待，可能夸大弱特征。

3.闵可夫斯基距离(Minkowsk distance)

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可看成是欧氏距离的指数推广，还没有见到过很好的应用实例，但通常，推广都是一种进步:)
特别的，当p=1,也成做街坊距离或曼哈顿距离，也称绝对距离。

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4.汉明距离(Hamming distance)

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还记得汉明码吗，海明距离就是表示X,Y取值不同的分量数目,只适用分量只取-1或1的情况。
 

5.Tanimoto系数(又称广义Jaccard系数)

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通常应用于X为布尔向量，即各分量只取0或1的时候。此时，表示的是X,Y的公共特征的占X，Y所占有的特征的比例。

6.皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)

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其实就是高中学过的相关系数啦，等于X，Y的协方差除以X，Y的标准差之积。不多说了。
    这东西在多元统计课本上出现时竟然就称为相关系数，什么名称都没有。

7.余弦相似度(cosine similarity)

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就是两个向量之间的夹角的余弦值。

应用场合：通常应用于X为布尔向量，即各分量只取0或1的时候。此时，和Tanimoto类似，是X，Y公共特征数目的测量。

优点：不受坐标轴旋转，放大缩小的影响。

还有一个调整余弦相似度(Adjusted Cosine Similarity),和余弦相似度的计算不同的是，X，Y在减去用户平均评分向量后再代入余弦相似度公式中计算。调整余弦相似度和余弦相似度，皮尔逊相关系数在推荐系统中应用较多。在基于项目的推荐中，GroupLens有篇论文结果表明调整余弦相似度性能要优于后两者。

http://blog.csdn.net/u012160689/article/details/15341303 余弦度量

http://blog.csdn.net/linvo/article/details/9333019 欧式度量 

参考资料:

http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Examples_of_metric_spaces
《模式识别导论》--齐敏等