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【编程题目】题目：定义 Fibonacci 数列 输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。
第 19 题（数组、递归）：
题目：定义 Fibonacci 数列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
/ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。
思路：递归和非递归的 下面的代码有个问题，没有考虑大数越界。返回值应该设成long long型的
递归速度非常慢
/*第 19 题（数组、递归）：题目：定义 Fibonacci 数列如下：/ 0 n=0f(n)= 1 n=1/ f(n-1)+f(n-2) n=2输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。start time 13:05end time 13:16*/#include <stdio.h>//递归int Fibonacci(int n){ switch(n) { case 0: return 0; case 1: return 1; default: return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2); }}//非递归int nonrecursionFibonacci(int n){ int a = 0, b = 1; switch(n) { case 0: return 0; case 1: return 1; default: { for (int i = 0; i < n - 1; i++) { int c = a + b; a = b; b = c; } return b; } }}int main(){ //int f = Fibonacci(10000); int ff = nonrecursionFibonacci(10000); return 0;}
网上有O(logN)的解法
http://leowzy.iteye.com/blog/787947
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
#include <cassert>///////////////////////////////////////////////////////////////////////// A 2 by 2 matrix///////////////////////////////////////////////////////////////////////struct Matrix2By2{ Matrix2By2 ( long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0 ) :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) { } long long m_00; long long m_01; long long m_10; long long m_11;};///////////////////////////////////////////////////////////////////////// Multiply two matrices// Input: matrix1 - the first matrix// matrix2 - the second matrix//Output: the production of two matrices///////////////////////////////////////////////////////////////////////Matrix2By2 MatrixMultiply( const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2){ return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);}///////////////////////////////////////////////////////////////////////// The nth power of matrix // 1 1// 1 0///////////////////////////////////////////////////////////////////////Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n){ assert(n > 0); Matrix2By2 matrix; if(n == 1) { matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); } else if(n % 2 == 0) { matrix = MatrixPower(n / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); } else if(n % 2 == 1) { matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0)); } return matrix;}///////////////////////////////////////////////////////////////////////// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer///////////////////////////////////////////////////////////////////////long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n){ int result[2] = {0, 1}; if(n < 2) return result[n]; Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); return PowerNMinus2.m_00;}
【编程题目】题目：定义 Fibonacci 数列 输入 n，用最快的方法求该数列的第 n 项。