课程简介：

本次课程主题为"泛化理论"，介绍了机械学习相关课程，重点介绍与之相关的公式推导及其应用。是这一整套课程中最具理论的课程，如果读者理解了该部分内容，那么对于后面课程的理解将会有很大的帮助。

课程大纲：

1、证明 mH(N) 是多项式（ Proof that mH(N) is polynomial ）

2、证明 mH(N) 能够代替 M（ Proof that mH(N) can replace M ）

说明：以下证明均是针对二分类！

首先要弄明白的两个问题是为什么需要证明上述两个问题？

从之前的课程中我们知道根据 Hoeffdings 定理：p[|v-u|>ε] <= 2e^(-2Nε^2) 机器学习是有可能实现的，在样本数据变大的时候，我们可以利用样本内数据逼近样本外数据。然而机器学习是一个不断试错并且找到一个最符合的模型的过程，因此 Hoeffdings 定理不适用（该定理仅针对单一试验有效），根据联合界限，可以对 Hoeffdings 定理进行扩充：p[|v-u|>ε] <= 2Me^(-2Nε^2) 其中 M 是假设集的个数。由于对应一个模型，多数情况下其假设集都是无限大的，因此该公式失去了原有的意义了。然而我们通过观察可以知道，实际情况下，M 的值是有上界的，很多情况下，不同的假设都是互相重叠的。只要我们能够确定 M 的上界在一个合理的范围内，我们并可以利用机器进行学习，从而通过样本数据预测未知数据了。那么这个合理的范围是什么呢？答案是这个范围是在一个多项式的约束下的。只要能够证明 mH(N) 是多项式，那么我们并可以证明 mH(N) 能够代替 M ，所以我们需要证明上述两个问题。

1、证明 mH(N) 是多项式（ Proof that mH(N) is polynomial ）

为了证明 mH(N) 是多项式，我们只需要证明 mH(N) <= ... <= 多项式

首先我们定义一个函数：B(N,k) 表示有 N 个点，断点为 k 的模型的最大假设集数量。

接着我们对这个模型下的所有假设分为两类。

第一类 S1 ：当前面的 N-1 个点全部归好类之后，剩下的第 N 个点唯一确定，要么是 +1 要么是 -1，因此最后一个点只能产生一种结果。

第二类 S2 ：当前面的 N-1 个点全部归好类之后，剩下的第 N 个点还不能确定，可能是 +1 类，也可能是 -1 类，因此最后一个点将产生两种结果：S2+ 和 S2-。因此：B(N,k) = α + 2β。如下图所示 ：

则有 α + β <= B( N-1, k )。根据定义，S2+ 和 S2- 是对称的关系，且只有在第 Xn 个点上出现分类不一致，其他情况下点的分类是一一对应的。

因此当除去最后一个点的时候有 S2+ 和 S2- 的分类结果是一致的。因此在只有 N-1 个点的情况下，假设集的最多数量是：α + β。又由于 只有 N-1 个点，所以必有在 N-1 个点的情况下，断点为 k 时，假设集数量 <= B(N-1,k)，因此有：α + β <= B( N-1, k )

对于 S2- ，当点数减少一个的时候，必然有 β <= B(N-1,k-1) 。为什么 K 要减 1 呢，即为什么S2- 的断点是 k-1？ 证明如下：

反证法：假设  S2- 的断点是 K ，那么如果 N-1 个点大于K 的话，假设集的数量将大于 2^(k-1)，当加上一个点后，假设集的数量将大于 2 * 2^（k-1）即 2^k 个，由于原假设集的断点是 k，矛盾，因此 β <= B(N-1,k-1)。

因此我们有：B(N,k) <= B(N-1,k) + B(N-1,k-1)。

数值解如下图所示：

然而我们更希望能够得到该不等式的解析解，其实前人已经证明：

现在我们就利用归纳法来证明该不等式的正确性。

证：

1、当 K = 1 的时候，成立。当 N = 1 的时候，成立。

2、当 K >=1, N >= 1 的时候：

我们需要证明：

我们令 i 从 1 开始到 k -1 ，则

综上，假设成立，证毕。

于是我们有：

只要我们能够证明不等式右边是多项式便可以完成我们的证明了。我们知道多个多项式相加的结果仍然为多项式。而且最高次项数为和中最高次数项对应的项。观察上述不等式的右边，是由一系列的和组成的一个式子。其中每一个和的最高项次数与 i 有关，i 越大，项越大，而且最大的项次数为：(k-1) 。因此不等式右边的最高项次数是：（k-1）。所以不等式右边是一个多项式，因此B(N,k)是一个多项式，证毕。

2、证明 mH(N) 能够代替 M（ Proof that mH(N) can replace M ）

课程中并没有给出严格的证明，只给出了一些关键步骤，严格的证明在附录里面（找不到，希望找到的告知一声，谢谢）。

如下：

1、mH（N）与重叠的关系。

我们知道之所以 M 非常大是因为我们利用了联合界限，但是在通常情况下，不同的假设存在着重叠部分，因此我们通过 mH（N）描述重叠部分：

每一个方块表示外部数据，有颜色部分是对外部数据预测错误的点。第一幅图中是利用了 Hoeffdings 定理得出来的错误部分。第二幅图结合 Hoeffdings 定理和联合界限的概念得出来的。第三幅图是因为存在重叠，所以表示的是 mH(N) .

2、我们应该对 Eout 做点什么？如下图所示，左边的图案是我们开始时使用的方法：从外部数据中随机取出部分数据作为样本进行学习，然后根据样本的学习结果对未知的外部数据进行预测。而右边的图表示多次取样，通过两个样本来预测，从而提高了准确率。具体情况可能需要参考证明部分（没有找到...）

3、把上述问题综合起来我们有：

第二条公式是我们想要的，图中的红色部分说明我们对原有公式进行了改变，只要是为了方便证明，但是不影响我们的结论。

3、总结：

该课程主要从理论方面证明了只要存在一个断点，则假设集的数量便受多项式的限制，我们可以证明，当假设集的数量是多项式的时候，可以用m（H） 代替 M，从而可以得出机器学习的可行性。

加州理工学院公开课：雷蒙保罗MAPA泛化理论（第六课）