人口增长问题，最开始是由社会学家关注的问题。英国的经济学家和人口学家马尔萨斯(Thomas Robert Malthus)最先研究这个问题，马尔萨斯在其著作《人口原理》提出了一个基本假设。

基本假设：

人口的自然增长率是一个常量，人口的变化率和当前的人口数目成正比。

基于这样的一个基本假设，我们可以建立一个可用来描述人口数量随时间演化的数学模型。设 tt<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex">t</script>时刻 人口数量为 x(t)x(t)<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex">x(t)</script>, t+\Delta tt+Δt<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex">t+\Delta t</script>时刻人口的数量为 x(t+\Delta t)x(t+Δt)<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex">x(t+\Delta t)</script>,设人口的自然增长率为 \lambdaλ<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex">\lambda</script>.依据假设

\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{x(t)\Delta t}=\lambda

x(t+Δt)?x(t)x(t)Δt=λ

Δt→0

dxdt=λx(t)

x(0)=N0

x(t)=N0eλt

limt→+∞x(t)=+∞

                                                               
1938年，Logistic模型提出，这个模型是马尔萨斯模型的修正模型认为\lambdaλ<script id="MathJax-Element-12" type="math/tex">\lambda</script>应该是tt<script id="MathJax-Element-13" type="math/tex">t</script>的函数，并且这个函数具有这样的性质

当人口数量越接近环境总容量时，人口的自然增长率越低。

可用一个简单数学公式描述，最简单地设\lambda(t)=M-x(t)

λ(t)=M?x(t)

这样我们得到了微分方程
\frac{dx}{dt}=(M-x(t))x(t),x(0)=N_{0}

dxdt=(M?x(t))x(t),x(0)=N0

M>>x(t)

x(t)=M1?Ce?Mt,C=1?MN0

分析平衡点令 \frac{dx}{dt}=0<script id="MathJax-Element-19" type="math/tex">\frac{dx}{dt}=0</script>，得 x_{1}=0,x_{2}=M<script id="MathJax-Element-20" type="math/tex">x_{1}=0,x_{2}=M</script>.

                当0<x<M<script id="MathJax-Element-21" type="math/tex">0dx/dt>0<script id="MathJax-Element-22" type="math/tex">dx/dt>0</script> 物种数量增加直至趋于环境容量上限。

                当 x>M<script id="MathJax-Element-23" type="math/tex">x>M</script> 时物种数量已经超过环境容量上限，dx/dt<0<script id="MathJax-Element-24" type="math/tex">dx/dt<0</script> 物种数量递减直至趋于环境容量上限。

分析平衡点稳定性:

                                \frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{2}}=-M<0<script id="MathJax-Element-25" type="math/tex">\frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{2}}=-M<0</script> 是稳定的平衡点；

                                \frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{1}}=M>0<script id="MathJax-Element-26" type="math/tex">\frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{1}}=M>0</script> 是不稳定的平衡点。

令 \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0<script id="MathJax-Element-27" type="math/tex">\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0</script> 得到 x^{*}=\frac{M}{2}<script id="MathJax-Element-28" type="math/tex">x^{*}=\frac{M}{2}</script> 即当物种数量达到环境容量上限的一半时，物种增长的最快。

对离散形式的Logistic映射会产生chaos现象。有文章在研究分数阶的Logistic映射，这个以后再作补充说明。

Remark：

1. 物种的的增长速率未必和当前的物种数量相关，可能取决于孕期的雌性物种的数量，因此可建立时滞型的微分方程模型

\frac{dx}{dt}=f(x(t-\tau))

关于时滞型微分方程的分析更加复杂，可以参看专著。

2. 若物种的增长速率和之前所有时刻都相关则建立的模型及其分析更加复杂。目前比较热门的分数阶微分方程模型即属于此类。

3. 一些参数需要统计得知，这里面又涉及到参数估计等。可以在方程里添加些噪声，分析下噪声的影响等。