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最大公约数与欧几里得(Euclid)算法

2024-07-24 17:26:50   219人阅读

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记a, b的最大公约数为gcd(a, b)。显然, gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|).

计算最大公约数的Euclid算法基于下面定理：

　　【GCD递归定理】对于任意非负整数a和任意正整数b，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

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　　gcd(a,b)=gcd(b, a+kb) a,b,k为任意整数
　　即gcd(a,b)=gcd(b, a mod b) a≥0,b>0
　　Example:gcd(55,22)=gcd(22, 55mod22)=gcd(22,11)=11
 
　　证明：假定d=gcd(a,b)，那么有d|a和d|b.对任何正整数b,a可表示为如下形式： a=kb+r ≡r mod b, a mod b =r , 因此，有(a mod b)= a-kb，k为某个整数。但由于d|b，b也能整除kb, 而d|a，故有d|(a mod b), 这表明d 也是b 和(amod b) 的公因子。由于这是可逆的，如果d 是b 和(a mod b) 的公因子，那么d|kb，且d|[kb+（a mod b)],这等同于d|a。这样a和b的公因子集合等同于b 和(a mod b) 的公因子集合。
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Euclid算法最简单的递归版本如下:

1 int Euclid(int a,int b)2 {3     b == 0 ? return a : Enclid(b, a%b);4 }

迭代版本：

 

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