问题与解答汇总

问题2017S01：设$A$是$n$阶对合阵,即$A^2 = I_n$.

证明$n - \text{tr}(A)$为偶数,并且$\text{tr}(A) = n$当且仅当$A = I_n$

解答：问题2017S01解答

问题2017S02:

设方阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$可对角化,求$a$的值.

解答：问题2017S02解答

问题2017S03：设$A_1,\cdots,A_n \in M_n(\mathbb{K}),g(x) \in \mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),\cdots,g(A_n)$都是非异阵.证明:存在$h(x) \in \mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$对所有的$1 \le i \le m$都成立.

解答：问题2017S03解答

问题2017S04：设 $A=(a_{ij})$为$n$阶复矩阵,证明:存在正数$\delta$,使得对任意的$s\in(0,\delta)$,下列矩阵均可对角化:

\[A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.\]

解答：问题2017S04解答

谢启鸿老师思考题及解答合集