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3.9上午
今天学习“汤加凤高数基础面授23”和“恋练有词27单元”。
“汤加凤高数基础面授23”时长2小时，做了20页笔记。
“恋练有词27单元”时长2小时，学了1小时，做了3页笔记。
汤加凤高数基础面授23：空间解析几何
Part 1
向量：
1.有方向有大小的量
2.向量的坐标：
a) 一维（x2-x1）e.（e是单位向量）
b) 二维{x2-x1,y2-y1}
c) 三维{x2-x1,y2-y1,z2-z1}
向量的模:
设向量a={a1,b1,c1}
|a|=（a1^2+b1^2+c1^2）^1/2
向量a的单位向量=a/|a|={a1/|a|,b1/|a|,c1/|a|}
方向角A,B,C：
A为向量a与X正半轴所成的夹角
B为向量a与Y正半轴所成的夹角
C为向量a与Z正半轴所成的夹角
方向余弦：
CosA=a1/|a|
CosB=b1/|a|
CosC=c1/|a|
所以cosA^2+cosB^2+cosC^2=1;
{cosA,cosB,cosC}=e=a/|a| ，单位向量
投影：
向量A1B1在u上的投影为：|A1B1|cos<A1B1,u>
向量的运算：
（1）加减法：
几何描述：平行四边形法则、三角形法则
坐标描述：对应坐标相加减
（2）数量积：
几何描述：a-b=|a||b|cos<a,b>
坐标描述：x1*x2+y1*y2
（3）叉乘：
几何描述：|a||b|sin<a,b>
坐标描述：老汤的方法。
Notes:
1.数量积：
a) 交换律
b) a-a=|a|^2=a1^2+b1^2+c1^2
c) 向量a垂直向量b<=>a-b =0<=>a1a2+b1b2+c1c2=0
2.叉乘
a) aXb=-bXa,交换填改变符号
b) aXb=0<=>a//b<=>a1/a2=b1/b2=c1/c2
c) |aXb|=|a||b|sin<a,b>=2S,S为这俩向量围城的三角形的面积
Part 2 ：应用：
（一）空间曲面：f(x,y,z)=0
特殊曲面：
1.柱面：
a) F(x,y)=0
b) F(x,z)=0
c) F(y,z)=0
2.旋转曲面：
a) Case1 二维：
- L{f(x,y)=0,z=0}
- 绕X轴转：f(x,+-(y^2+z^2)^1/2)
- 绕Y轴转:f(+-(x^+z^2)^1/2,y)
b) case 2 三维，不讲
（2）退化——平面
1.点法式
M0(x0,y0,z0)∈π
向量n={A,BC}⊥π
对任意一个M{x,y,z}∈π <=> 向量M0M⊥向量n<=>M0M-n=0
所以平面π:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
2.截距式
在三个坐标轴分别取A（a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c)
向量ab={-a,b,0},向量ac={-a,0,c}
法向量n=abXac={bc,ac,ab}
π：bc(x-a)+ac(y)+abz=0
<=>x/a+y/b+z/c=1
3.一般式
π：Ax+By+Cz+D=0 {A,B,C}为法向量
（三）空间曲面：切平面，法线
M0∈π
法向量n={F’x,F’y,F’z}M0
（四）空间曲线
1.形式{F（x,y,z）=0,G（x,y,z）=0} 看成两个平面的交线
2.参数形式{x=A(t),y=B(t),z=C(t)}
（五）退化——直线
1.一般式：{A1X+B1Y+C1Z+D1=0;
A2X+B2Y+C2Z+D2=0}
2.点向式（对称式）
M0（x0,y0,z0）∈L
向量S={m,n,p}//L
取M（x,y,z）∈L<=>M0m//S<=>
L:x-x0/m=y-y0*/n=z-z0/p
3.参数式：{x=x0+mt;
Y=y0+nt;
Z=z0+pt}
（六）空间曲线：切线，法平面
1.参数方程表示
L{x=A(t);
Y=B(t);
Z=C(t)} t=t0
方向向量S={A’(t0),B’(t0),C’(t0)}
L:{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0}
M0∈L
S=n1Xn2={f’x,f’y,f’z}X{g’x,g’y,g’z} t0
（七）距离
1.两点距离
2.点面距
3.平面距
4.点线距
a) 在直线上取一点m0
b) 求出L的方向向量S
c) |m0m1XS|=|S|*d
5.异面直线之距
a) 先判断俩直线的位置关系，若L1,L2的方向向量S1,S2的叉乘与M1M2的数量级不为0，则异面。
b) 再过m1作L2’平行于L1.将问题转化成线面距
（八）平面束
π：A1X+B1Y+C1Z+D1+P（A2X+B2Y+C2Z+D2）=0
作用：求与某平面垂直的平面
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