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【DP】组合数字
Password Attacker
题意就是给 M 个关键字，组合成 N 字符长度的结果，每一个关键字都必须在 N 位的字符中出现，有多少种可能结果。
范围 1 ≤ M ≤ N ≤ 100.
举例假设 M = 3(key = 3, 7, 5) N = 4 位字符长度
结果可以为3577, 3557, 7353, 5735.
下面的结果是不合法的
1357 // 1 没有在key中，不是合法关键字
3355 // 7 是关键字，但是结果中没有出现
357 // 结果必须是一个4位长度
思路1:
设立状态dp(i, j)表示在 M 个关键字中取前 i 个不同关键字，组成长度为 j . 所有结果总和
划分子问题
1. i == j 时候， 取前 i 个Key组成长度为 i ，结果为
2. i < j 时候，考虑dp(i-1, k)，选去第 i 个元素j-k次，第i个元素与前i-1个元素不同，把这j-k个第i个元素插入到已有长度k的序列中，就可以转移到dp(i, j)
3. i > j， 不考虑
那么对于2，如何插入？
已有的 k 个元素有 k+1 个位置可以进行插入，问题就是把 j-k 个元素插入到 k+1 个桶中有多少种结果？
用 表示第 i 个桶，那么问题就等价于
的所有非负整数解。
我们把两边同时加上k+1,变成 的所有正整数解。
相当于给j+1个1，插入隔板把它们分到k+1个桶中，每个桶要保证至少有一个元素，所以一共有 j 个可以提供插入隔板的位置，总共有k+1个桶，所以需要在这 j 个空隙中选择出k个位置插入隔板就成k+1个桶。
答案为
最后的2，也就等于
最后的答案就是dp(m, n)
源码如下：
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long int64;const int64 M = 1000000007LL;const int maxn = 105;int64 C[maxn][maxn];int64 dp[maxn][maxn];void getCombination() { int n = maxn; for (int i = 1; i <= n; i++) C[i][0] = C[i][i] = 1LL; for (int i = 2; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1] % M + C[i-1][j] % M) % M;}int main() { getCombination(); int t, m, n, cas = 1; scanf("%d", &t); while ( t-- ) { scanf("%d%d", &m, &n); // init memset(dp, 0LL, sizeof(dp)); for (int i = 1; i <= n; i++) dp[1][i] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) dp[i][i] = (dp[i-1][i-1] * (int64)i) % M; for (int i = 2; i <= m; i++) for (int j = i+1; j <= n; j++) for (int k = i-1; k <= j-1; k++) dp[i][j] = (dp[i][j] + (C[j][k] * dp[i-1][k]) % M) % M; printf("Case #%d: %lld\n", cas++, dp[m][n]); } return 0;}
思路2:
qqz大神，dp(i, j)表示从 M 个元素中随机选取 i 个不同的元素组成 j 的长度的所有结果
划分子问题
1. i == j， dp(i, i) 随机从 M 个元素选取 i 个元素的全排列，为
2. i == 1， dp(1, j) 表示从 M 个元素中随机选取一个重复 j 次，结果为 M
3. i < j , ,
和的第一部分表示在dp(i-1, j-1)基础上，从剩下的M-i+1个数中取1个放到最后组成dp(i, j). 和的第二部分表示从已经选出的i个元素中挑1个放到最后。
最后的答案就是dp(m, n)
源码如下：
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;using int64 = long long;const int64 M = 1000000007LL;int64 dp[105][105], A[105][105];void initA() { for (int i = 1; i <= 100; i++) { A[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= i; j++) A[i][j] = ((i-j+1) * A[i][j-1]) % M; }}int m, n;int64 f(int i, int j) { if (dp[i][j] != -1) return dp[i][j]; if (i == j) return dp[i][j] = A[m][i]; else return dp[i][j] = (((m-i+1) * f(i-1, j-1)) % M + (i * f(i, j-1)) % M ) % M;}int main() { freopen("A-large-practice.in", "r", stdin); freopen("a_out.txt", "w", stdout); int t, cas = 1; initA(); scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = 1; i <= m; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) dp[i][j] = -1; for (int i = 1; i <= n; i++) dp[1][i] = m; printf("Case #%d: %lld\n", cas++, f(m ,n)); } return 0;}
【DP】组合数字