后缀数组(suffix array)详解

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一.What  Is  Suffix Array?

用我的理解，后缀数组是一种功能强大的字符串处理工具，堪称字符串处理神奇，尤其是在字符串匹配方面更是有着出色的处理能力。

其实后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也不太逊色，并且，它比后缀树所占用的空间小很多。可以说，在信息学竞赛中后缀数组比后缀树要更为实用。

学习后缀数组需要认识几个概念：

子串

　　字符串 S 的子串r[i..j] ， i ≤ j ，表示r 串中从 i 到 j 这一段，就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j] 形成的子串。

后缀

　　后缀是指从某个位置 i 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r 的从 第 i 个字 符 开 始 的 后 缀 表 示 为 Suffix(i) ，也 就 是Suffix(i)=r[i..len(r)] 。

后缀数组(SA[i]存放排名第i大的子串首字符下标)

　　后缀数组 SA 是一个一维数组，它保存1..n 的某个排列 SA[1] ，SA[2] ， ……， SA[n] ，并且保证Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])， 1 ≤ i<n 。也就是将 S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA 中。

名次数组（rank[i]存放suffix(i)的优先级）

　　名次数组 Rank[i] 保存的是 Suffix(i) 在所有后缀中从小到大排列的 “ 名次 ” 。

注：这个是排序的关键字~（这句话是我们排序的重点）

还需要认识几个重要的数组：(我的理解)

sa[i]:保存的是S字符串的所有子串在以字典序排序后，排在第i名的字符串在原来子串中的位置。

rank[i]:保存的是S字符串的所有子串在一字典序排序后，原来的第i名现在排第几。

简单的说，后缀数组（SA）是 “ 排第几的是谁？ ” ，名次数组（RANK）是 “ 你排第几？ ” 。 容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。我们只要算出了sa数组，就可以在O(n)的时间复杂度内算出rank数组。

height数组：height[i]保存的是suffix(i)和suffix(i-1)的最长公共前缀的长度。也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。

二.How To Build Suffix Array?

要构造Suffix Array,主要就是构造sa数组,rank数组和height数组。

首先来看一下如何构造sa数组：

构造sa数组的方法有三种：

1)倍增算法：O(nlongn)

2)DC3算法：O(n)

3)skew算法(不常用)

这里主要讲一下DC3算法：

nDC3算法是一个优秀的线性算法！很多人都认为DC3算法很复杂，其实也没多复杂，代码也就40多行，只是for循环多了点。

DC3算法：

1) 先将后缀分成两部分，然后对第一部分的后缀排序。 

2) 利用（1）的结果，对第二部分的后缀排序。
3) 将（1）和（2）的结果合并，即完成对所有后缀排序。

于是求出了所有后缀的排序，有什么用呢？主要是用于求它们之间的最长公共前缀（Longest Common Prefix，LCP）。

求出sa数组之后，根据rank[sa[i]]=i，rank数组自然也就能够在O(n)的时间内求出。

那我们如何快速的求出height数组呢？

令LCP(i,j)为第i小的后缀和第j小的后缀（也就是Suffix(SA[i])和Suffix(SA[j])）的最长公共前缀的长度，则有如下两个性质： 

1. 对任意i<=k<=j，有LCP(i,j) = min(LCP(i,k),LCP(k,j))
2. LCP(i,j)=min(i<k<=j)(LCP(k-1,k))

令height[i]＝LCP(i-1,i)，即height[i]代表第i小的后缀与第i-1小的后缀的LCP，则求LCP(i,j)就等于求height[i+1]~height[j]之间的RMQ，套用RMQ算法就可以了，复杂度是预处理O(nlogn)，查询O(1).

这样一来我们就将height数组也求出来了。

三.The Use Of Suffix Array

这里只是简单的介绍几种后缀数组的运用，真正的熟练后缀数组，还需要通过不断的做题、不断的实践来掌握。

1)最长公共子串：

我们知道，字符串的任何一个子串都可以看作是这个字符串某个的后缀的前缀。求A和B的最长公共子串等价于求A的后缀和B的后缀的最长公共前缀的最大值。

将第二个字符串写在第一个字符串的后面，中间用一个没有出现过的字符隔开，在求出这个新字符串的后缀数组，然后我们只需要找最大的height[i]就可(前提是要判断是否不在同一个字符串中)。

后缀数组(suffix array)详解