矩阵快速幂的一份小结

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2024-09-09 17:42:50 214人阅读

矩阵真是个好东西！虽然矩乘的复杂度有点难看... ...

这几天也做了不少矩阵题目，还是有几道好题目的。不过我打算从入门开始。

矩阵乘法：A[i][k]*B[k][j]=C[i][j];(A的第i行的每项依次乘以B的第j列的每项的和)

　　很显然这是一个n^3的算法，还是比较难看的。

　　代码就差不多是这样了。

struct Matrix{int T[51][51];};
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J)
{
  Matrix S=S0;
  for(int i=1;i<=I;++i)
    for(int j=1;j<=J;++j)
      for(int k=1;k<=K;++k)
    S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%Mod)%Mod;
  return S;
}

　　然后我们发现矩乘有一些性质：

1. 不满足交换律。
2. 满足结合律。

　　所以矩乘是可以用来快速幂的!

一些题目

　　　题型1.手推矩阵+快速幂

　　　　这类题目很多，简单的有求斐波那契数列第多少多少项，难的也有，一般难题重点不在矩阵上。

　　　　举几个栗子：

　　　　　　1.斐波那契数列

　　　　　　　　刚才奶到的求第n项的问题。初始矩阵为

1	0
0	0

转移矩阵为

1	1
1	0

代码就大概长这样。矩乘的基本操作了。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
#define MID int mid=(l+r)>>1
using namespace std;
int n,Mod,ans[2][3][3],S[3][3];
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void calc(int a,int b)
{
  for(int i=1;i<=2;++i)
    for(int j=1;j<=2;++j)
      for(int k=1;k<=2;++k)
    S[i][j]=(S[i][j]+ans[a][i][k]*ans[b][k][j])%Mod;
  for(int i=1;i<=2;++i)
    for(int j=1;j<=2;++j)
      ans[a][i][j]=S[i][j],S[i][j]=0;
}
int Qpow(int z)
{
  for(;z;z>>=1)
    {
      if(z&1)calc(0,1);
      calc(1,1);
    }
  return ans[0][1][1];
}
int main()
{
  int T=gi();
  while(T--)
    {
      n=gi();Mod=gi();
      if(n==0){printf("0\n");continue;}
      ans[0][1][1]=1;ans[0][1][2]=0;ans[0][2][1]=0;ans[0][2][2]=0;
      ans[1][1][1]=1;ans[1][1][2]=1;ans[1][2][1]=1;ans[1][2][2]=0;
      S[1][1]=S[1][2]=S[2][1]=S[2][2]=0;
      printf("%d\n",Qpow(n));
    }
  return 0;
}

　　　　　　2.Xn数列

　　　　　　题目大意就是给你一个A[n+1]=pA[n]+q的简单数列，求(第n项mod m)mod g;

　　　　　　构造等比数列什么的出去，泥萌已经过时了。

　　　　　　手玩方程构造出矩阵。初始矩阵是2*2的

x0	C
0	0

转移矩阵也是2*2的

a	0
1	1

　　剩下的也就那样了。我也不知道为什么是大师的题目。

　　哦对了矩阵乘法要用龟速乘，不然会爆。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define int long long
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
#define MID int mid=(l+r)>>1
using namespace std;
int m,a,c,x0,n,g;
int A[5][5],S[5][5],ans[5][5][5];
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
int aXb(int a,int b,int mod)
{
  a%=mod;b%=mod;int ans=0;
  for(;b;b>>=1)
    {
      if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
      a=(a<<1)%mod;
    }
  return ans;
}
void calc(int a,int b)
{
  for(int i=1;i<=2;++i)
    for(int j=1;j<=2;++j)
      for(int k=1;k<=2;++k)
	S[i][j]=(S[i][j]+aXb(ans[a][i][k],ans[b][k][j],m))%m;
  for(int i=1;i<=2;++i)
    for(int j=1;j<=2;++j)
      ans[a][i][j]=S[i][j],S[i][j]=0;
}
void Qpow(int z)
{
  for(;z;z>>=1)
    {
      if(z&1)calc(0,1);
      calc(1,1);
    }
}
void work()
{
  int Ans=ans[0][1][1]%g;
  cout<<Ans<<endl;
}
main()
{
  m=gi();a=gi();c=gi();x0=gi();n=gi();g=gi();
  ans[0][1][1]=x0;ans[0][1][2]=c;
  ans[1][1][1]=a;ans[1][2][1]=1;ans[1][2][2]=1;
  Qpow(n);work();return 0;
}

　　2.要根据输入处理转移矩阵。

　　　　1.沼泽鳄鱼

　　　　来我们理理思路。

　　　　最暴力的暴力都会打吧，随便怎么样的DFS或者BFS。或者你还可以加个记忆化。

　　　　然后是一些特殊的点。在没有任何一只鳄鱼的情况下我们就可以用矩阵乘法——初始矩阵是1×n的，(1,ST)=1，其他点都是0的矩阵。转移矩阵就是n*n对应的邻接矩阵。（手玩体会感受一下它的转移）。

　　　　下面就是对鳄鱼的处理了。鳄鱼在那个点的话，就不能走到嘛。所以这个转移矩阵的那个对应的"1"就要变成"0"。处理完这一秒之后这样就变成了这一步的转移矩阵。这样每次都在邻接矩阵基础上修改转移矩阵，也能得到正确的答案。但我们没有控制1s的能力，这样会T。

　　　　再看看，发现鱼的线路是有规律的，有周期的，而且只有3,4,5三种周期。所以12s后的转移矩阵和12s前的是相同的——一个循环结出现了！于是我们兴高采烈地用上矩阵乘法结合律，把一个循环结乘成一个矩阵，快速幂就好了。至于剩下的一点点余数，暴力就可以啦，反正也就那么点点东西。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
struct Matrix{int T[51][51];}S0,Tx[20],Alt,Ans;
int n,m,st,ed,KKK,Fish,Map[20][99],map[99][99];
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J)
{
  Matrix S=S0;
  for(int i=1;i<=I;++i)
    for(int j=1;j<=J;++j)
      for(int k=1;k<=K;++k)
	S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%10000)%10000;
  return S;
}
Matrix Qpow(int z)
{
  Matrix d=Ans,f=Alt;
  for(;z;z>>=1,f=Mul(f,f,n,n,n))
    if(z&1)d=Mul(d,f,1,n,n);
  return d;
}
int main()
{
  n=gi();m=gi();st=gi()+1;ed=gi()+1;KKK=gi();
  for(int i=1;i<=m;++i)
    {
      int u=gi()+1,v=gi()+1;
      map[u][v]=map[v][u]=1;
    }
  Fish=gi();
  for(int i=1;i<=Fish;++i)
    {
      int T=gi();
      for(int j=0;j<T;++j)
	{
	  int x=gi()+1;
	  for(int k=j;k<12;k+=T)
	    Map[k][x]=1;
	}
    }
  for(int t=0;t<12;++t)
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=n;++j)
	if(map[i][j] && !Map[(t+1)%12][j])
	  Tx[t].T[i][j]=1;
  Alt=Tx[0];Ans.T[1][st]=1;
  for(int i=1;i<12;++i)
    Alt=Mul(Alt,Tx[i],n,n,n);
  Ans=Qpow(KKK/12);
  for(int t=0,s=KKK%12;t<s;++t)
    Ans=Mul(Ans,Tx[t%12],1,n,n);
  printf("%d",Ans.T[1][ed]);
  return 0;
}

　　　2.GT考试(光头考试)

　　　　题面就是要你找有多少种没出现过一个数字串的数字串。

　　　　方案，取膜，匹配，想到DP。

　　　　设状态。想知道有没有出现过，就要知道有没有匹配到m位。所以状态就是[i,j]，表示主串匹配到第i位，小串匹配到第j位。答案就是sigma F[n,i],i from 1 to m-1；

　　　　想转移。F[i,j]表示的既然是最多能匹配到的位置，那就必须用到KMP来求匹配的最长前缀。先预处理出来。转移就明显了，把上一次j的加到这一次相应的j‘里面就好。这么做固然是正确的，但是会T，N<=10^9... ...

　　　　找优化。我们发现没一次的转移都可以写成f[i+1,J]=f[i,j1]*...+f[i,j2]*...+...——一阶行列式！矩阵乘法！快速幂！(想想鳄鱼沼泽那题，没有鳄鱼的情况就是一个一样的一阶行列式)。快速幂码完走人。

　　　　总结：这题思维和代码都是有的，还要用到KMP这种东西。B站上一次过，在校内OJ被某无良WG卡了输入... ...

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
struct Matrix{int T[22][22];}S0,ST,Inv;
int N,M,Mod,Next[25],Hash[200],A[200],Ans;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL gl()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J)
{
  Matrix S=S0;
  for(int i=0;i<I;++i)
    for(int j=0;j<J;++j)
      for(int k=0;k<K;++k)
   　　 S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%Mod)%Mod;
  return S;
}
Matrix Qpow(Matrix d,int z,int len)
{
  Matrix ans=S0;
  for(int i=0;i<len;++i)ans.T[i][i]=1;
  for(;z;z>>=1,d=Mul(d,d,len,len,len))
    if(z&1)ans=Mul(ans,d,len,len,len);
  return ans;
}
int main()
{
  N=gi();M=gi();Mod=gi();
  for(int i=1;i<=M;++i)A[i]=getchar()-‘0‘;
  Next[1]=0;ST.T[0][0]=1;
  for(int i=2,j=0;i<=M;++i)
    {
      while(j&&A[j+1]!=A[i])j=Next[j];
      if(A[j+1]==A[i])++j;Next[i]=j;
    }
  for(int i=0;i<M;++i)
    for(int j=0;j<10;++j)
      {
    　　int x=i;
    　　while(x && A[x+1]!=j)x=Next[x];
   　　 if(A[x+1]==j)Inv.T[i][x+1]=(Inv.T[i][x+1]+1)%Mod;
    　　else Inv.T[i][0]=(Inv.T[i][0]+1)%Mod;
      }
  Inv=Qpow(Inv,N,M);ST=Mul(ST,Inv,M,M,M);
  for(int i=0;i<M;++i)Ans=(Ans+ST.T[0][i])%Mod;
  printf("%d\n",Ans);
  return 0;
}

上面几题都是很水的题目了(by An***大佬，我知道他不会看见)，祝大家统统成神犇！　　　　

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