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线性保持问题
问题 1：设 $M_n(F)$ 是数域 $F$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成的向量空间，$f$ 是 $M_n(F)$ 上的一个线性变换，而且保持矩阵的乘法：
\[f(AB)=f(A)f(B).\quad\forall A,B\in M_n(F).\]
问：$f$ 应该是什么样子的？
这个问题当然有初等的解法，不过初等解法很繁琐。其实它是代数学中关于中心单代数结构定理的一个直接推论：
$M_n(F)$ 是 $F$ 上的中心单代数。考虑 $M_n(F)$ 用两种方式作用在 $F^n$ 上使得 $F^n$ 成为左 $M_n(F)-$ 模：第一种就是 $M_n(F)$ 在 $F^n$ 上的自然作用，第二种是 \[ A\cdot v= f(A)v.\quad A\in M_n(F),v\in F^n.\]
由于中心单代数是半单代数且只有唯一的不可约模，所以任何两个左 $M_n(F)-$ 模只要维数相同就必然同构，因此 $F^n$ 用这两种方式看成 $M_n(F)-$ 模是同构的，即存在可逆线性变换 $T:F^n\rightarrow F^n$ 使得
\[ Tf(A)v=ATv,\]
即 $f(A)=T^{-1}AT$。这说明 $f$ 必然是由某个可逆矩阵 $T$ 诱导的相似变换。
把上面的问题改一改：
问题 2：设 $M_n(F)$ 是数域 $F$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成的向量空间，$f$ 是 $M_n(F)$ 上的一个线性变换，而且 "反交换" 矩阵的乘法：
\[f(AB)=f(B)f(A).\quad\forall A,B\in M_n(F).\]
问：$f$ 应该是什么样子的？
这下问题好像有点难办了，不过你可以大概猜到答案应该与转置有关，因此我们可以照葫芦画瓢写出下面的证明：
考虑 $M_n(F)$ 在 $F^n$ 上的两种不同的作用方式使得 $F^n$ 成为左 $M_n(F)-$ 模：（这次 $v$ 是行向量）
- $A\cdot v=vA‘$；
- $A\ast v= vf(A)$。
仍然同理，这两种左 $M_n(F)-$ 模是同构的，因此存在可逆矩阵$T$ 使得
\[(A\cdot v)T=A\ast(vT),\]
即 $f(A)=T^{-1}A‘T$。
最后我们把这两个问题捏在一起，凑成下面这个问题：
问题 3：设 $M_n(F)$ 是数域 $F$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成的向量空间，$f$ 是 $M_n(F)$ 上的一个线性变换，而且对任何矩阵 $A,B$，等式 $f(AB)=f(A)f(B)$ 和 $f(AB)=f(B)f(A)$ 至少有一个是成立的。问 $f$ 应该是什么样子的？
线性保持问题