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证明不存在格点n边形(n!=4)

这是我在知乎上的一个答案。个人非常喜欢这个证明。

 

如何证明平面内任意六个整点都不能组成正六边形?

假如整点六边形存在,一定有边长最小的一个,记作A_1A_2A_3A_4A_5A_6.
A_2为中心,将A_1逆时针旋转90度,得到B_1。显然B_1也是整点。类似定义B_2~B_6,它们也都是整点。
如你所见,B_1B_2B_3B_4B_5B_6是一个更小的整点六边形,矛盾。

 

由此也可说明整点三角形不存在。因为只要有整点三角形,就一定有整点六边形
值得注意的是,这样的证明是可以推广的(N>4时)。以下是五边形的情形。

 

证明不存在格点n边形(n!=4)