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一道叙述有误的模拟题

这是2013年昌平区二模的压轴题:

如果函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\bf R$,对于定义域内的任意 $x$,存在实数 $a$ 使得 $f(x+a)=f(-x)$ 成立,则称此函数具有“$P(a)$ 性质”.

(1) 判断函数 $y=\sin x$ 是否具有“$P(a)$ 性质”,若具有“$P(a)$ 性质”,求出所有的 $a$ 的值;若不具有“$P(a)$ 性质”,请说明理由;

(2) 设函数 $y=g(x)$ 具有“$P(\pm 1)$ 性质”,且当 $-\dfrac 12\leqslant x \leqslant \dfrac 12$ 时,$g(x)=|x|$.若 $y=g(x)$ 与 $y=mx$ 的交点个数为 $2013$,求 $m$ 的值.

     按照题目的叙述“对于定义域内的任意 $x$,存在实数 $a$ …”,说明当 $x$  变化时,实数 $a$ 是有随之变化的余地的,然而引入“$P(a)$ 性质”这一说法,又使得 $a$ 不再具有变化的空间.这样的话,不如直接叙述为“存在实数 $a$,使得对于定义域内的任意 $x$ …”来的简单自然.

     问题到这里还算不上是错误,关键在于第二问.第二问中  $\pm 1$,也就是 $1$ 或 $-1$,使得 $a$ 有了变化的可能,结合题干中对“$P(a)$ 性质”的描述会使得问题变得极为复杂.换句话说,对于定义域内的 $x$,只要 $g(x+1)=g(-x) $ 和 $g(x-1)=g(-x)$ 中有至少一个成立即可.然而参考答案中认为 $g(x+1)=g(-x) $ 和 $g(x-1)=g(-x)$ 两者都是对任意定义域内的 $x$ 恒成立的.那么按照参考答案的说法,应该将题目条件改为“设函数 $y=g(x)$ 具有 $P(1)$ 性质和 $P(-1)$ 性质”.

一道叙述有误的模拟题