• 假设你从某一层楼扔下鸡蛋，它没有碎，则这个鸡蛋你能够继续用
• 假设这个鸡蛋摔碎了，则你能够用来測试的鸡蛋降低一个
• 全部鸡蛋的质量同样（都会在同一楼层以上摔碎）
• 对于一个鸡蛋，假设其在楼层i扔下的时候摔碎了，对于不论什么不小于i的楼层，这个鸡蛋都会被摔碎
• 假设在楼层i扔下的时候没有摔碎，则对于不论什么不大于i的楼层，这颗鸡蛋也不会摔碎
• 从第1层扔下，鸡蛋不一定完善，从第36层扔下，鸡蛋也不一定会摔碎。

实际上，我们的终极目的是要找出连续的两层楼i，i+1在楼层i鸡蛋没有摔碎，在楼层i+1鸡蛋碎了，问题的关键之处在于，測试之前，你并不知道鸡蛋会在哪一层摔碎，你须要找到的是一种測试方案，这样的測试方案，不管鸡蛋会在哪层被摔碎，都至多仅仅须要m次測试，在全部这些測试方案中，m的值最小。

对于仅仅有1颗鸡蛋的情况，我们别无选择，仅仅能从1楼開始，逐层向上測试，直到第i层鸡蛋摔碎为止，这时我们知道，会让鸡蛋摔碎的楼层就是i(或者直到顶层，鸡蛋也没有被摔碎)，其它的測试方案均不可行，由于假设第1次測试是在不论什么i>1的楼层扔下鸡蛋，假设鸡蛋碎了，你就无法确定，i-1层是否也会令鸡蛋摔碎。所以对于1颗鸡蛋而言，最坏的情况是使鸡蛋摔碎的楼层数i>=36，此时，我们须要測试每一个楼层，总共36次，才干找到终于结果，所以1颗鸡蛋一定能解决36层楼问题的最少測试次数是36.

对于2个鸡蛋，36层楼的情况，你可能会考虑先在第18层扔一颗，假设这颗碎了，则你从第1层，到第17层，依次用第2颗鸡蛋測试，直到找出答案。假设第1颗鸡蛋没碎，则你依旧能够用第1颗鸡蛋在27层进行測试，假设碎了，在第19～26层，用第2颗鸡蛋依次測试，假设没碎，则用第1颗鸡蛋在32层进行測试，……，如此进行（有点类似于二分查找）。这个解决方式的最坏情况出如今结果是第17/18层时，此时，你须要測试18次才干找到终于答案，所以该方案，解决36层楼问题的測试次数是18.

相较于1颗鸡蛋解决36层楼问题，測试次数实现了减半，可是18并非确保解决2颗鸡蛋，36层楼问题的最小值(实际的最小值是8).

我们能够将这种问题简记为W(n,k)，当中n代表可用于測试的鸡蛋数，k代表被測试的楼层数。对于问题W(2,36)我们能够如此考虑，将第1颗鸡蛋，在第i层扔下（i能够为1～k的随意值），假设碎了，则我们须要用第2颗鸡蛋，解决从第1层到第i-1层楼的子问题W(1,i-1)，假设这颗鸡蛋没碎，则我们须要用这两颗鸡蛋，解决从i+1层到第36层的子问题W(2,36-i)，解决这两个问题，能够分别得到一个尝试次数p，q，我们取这两个次数中的较大者(假设是p)，与第1次在i层运行測试的这1次相加，则p+1就是第一次将鸡蛋仍在i层来解决W(2，36)所需的最少測试次数次数ti。对于36层楼的问题，第一次，我们能够把鸡蛋仍在36层中的不论什么一层，所以能够得到36中解决方式的測试次数T{t1,t2,t3,……,t36}，在这些结果中，我们选取最小的ti，使得对于集合T中随意的值tj(1<=j<=36,j!=i)，都有ti<=tj，则ti就是这个问题的答案。用公式来描写叙述就是W(n, k) = 1 + min{max(W(n -1, x -1), W(n, k - x))}, x in {2, 3, ……，k}，当中x是第一次的測试的楼层位置。

当中W(1,k) = k（相当于1颗鸡蛋測试k层楼问题），W(0,k) = 0，W(n, 0) = 0

所以在计算W(2,36)之前，我们需先计算出全部W(1,0),……，W(1,36),W(2,0),……,W(2,35)这些的值，能够用递推的方法实现，代码例如以下：

unsigned int DroppingEggsPuzzle(unsigned int eggs, unsigned int floors)
{
	unsigned int i, j, k, t, max;

	unsigned int temp[eggs + 1][floors + 1];

	for(i = 0; i < floors + 1; ++i)
	{
		temp[0][i] = 0;
		temp[1][i] = i;
	}

	for(i = 2; i < eggs + 1; ++i)
	{
		temp[i][0] = 0;
		temp[i][1] = 1;
	}

	for(i = 2; i < eggs + 1; ++i)
	{
		for(j = 2; j < floors + 1; ++j)
		{
			for(k = 1, max = UINT_MAX; k < j; ++k)
			{
				t = temp[i][j - k] > temp[i - 1][k -1] ?  temp[i][j - k] : temp[i - 1][k -1];

				if(max > t)
				{
					max = t;
				}
			}

			temp[i][j] = max + 1;
		}
	}

	return temp[eggs][floors];
}

该算法的空间复杂度是O(nk)，时间复杂度是O(nk^2)，对于规模较大的问题，不管是空间还是时间复杂度都非常可观。

这个算法能够计算出W(2,36)问题的最少測试次数是8，可是却不能给出用2颗鸡蛋解决36层楼问题的详细方案，这里我就给出一个測试方案：

• 用第一颗鸡蛋分别在8，15，21，26，30，33，35层进行測试
• 假设鸡蛋在某一层碎了(比如26层)，则在前一測试点由下到上依次測试，比如(22,23,24,25)，直到找到满足条件的楼层为止
• 假设鸡蛋在第35层的測试中也没碎，则用该鸡蛋在第36层再測试一次

该方案能够保证，不管满足条件的楼层是多少，都能够在最多8次測试之后找到答案，比如目标楼层为28时，该方案的測试顺序为8，15，21，26，30，27，28，总共測试7次，有兴趣的读者能够尝试一下其它情况。

该方案解决W(2,36)问题比較优雅，可是却暗藏一个非常大的玄机，那就是一般我们见到的这个问题的题面，往往是W(2,15)，W(2,36)，不知道读者考虑过没有，为什么非让我们计算2颗鸡蛋測试36层楼的情况，而不是35层或者37层？以下是用之前的算法解决W(4,50)问题的递推结果表格（当中，行代表楼层数1～50，列代表鸡蛋数1～4），我们会发现，W(2,36)=8，W(2,37) = 9，那么是不是用2颗鸡蛋測试8次，最多仅仅能解决36层楼问题，对于37层就无能为力了呢？

这里引出了一个问题：n个鸡蛋，測试m次(简记为D(n,m))，最大能够解决几层楼的问题，通过对递推结果表格的观察，我们能够得到例如以下结论

1. D(1,m) = m
2. D(n,n) = 2^n - 1
3. D(n,m){m <= n} = D(m,m)

对于第二点，以D(4,4)为例，我们第1次在8楼扔下鸡蛋，假设碎了，则第二次在4楼扔下鸡蛋，否则在12楼扔下鸡蛋，对于在4楼扔下鸡蛋的情况，之后能够分别在2楼或者6楼扔下鸡蛋，如此进行，就能够找到答案楼层，方法与二分查找一样。比如答案楼层是5的情况，測试序列为8，4，6，5。

对于第三点，假设有5个鸡蛋让你測试3次，即使三次測试鸡蛋都碎了，剩下的2个鸡蛋也派不上用场，所以D(5,3) = D(3,3)

发现这些关系之后，我们似乎找到解决n个鸡蛋測试m次最大能够解决楼层数的方法。对于D(n,m){n < m}而言，对于其能够測试的最大楼层数k，我们能够构造这种场景，将第一颗鸡蛋仍在楼层i，使得第i + 1层到第k层是D(n,m-1)能够解决的最大楼层数，第1层到第i - 1层是D(n-1,m-1)能够解决的最大楼层数，由此得到递推关系D(n,m) = D(n -1,m-1) + 1 + D(n,m-1)，然后对D(n,m-1),D(n-1,m-1)再依照上述公式分解，直到得出刚才所列的三种可计算情况（n = 1，或者m <= n）为止，再进行回溯累加，就能够得到D(n,m)的值，代码例如以下：

unsigned int DroppingMax(unsigned int eggs, unsigned times)
{
	if(eggs == 1)
	{
		return times;
	}

	if(eggs >= times)
	{
		return (unsigned int)pow(2, times) - 1;
	}

	return DroppingMax(eggs, times -1) + DroppingMax(eggs -1, times - 1) + 1;
}

unsigned int DroppingEggsPuzzle2(unsigned int eggs, unsigned int floors)
{
	unsigned int times = 1;

	while(DroppingMax(eggs, times) < floors)
	{
		++times;
	}

	return times;
}

该算法的时间和空间复杂度不太好分析，但都要好于传统的DP算法，有兴趣的读者能够推敲一下，在我的机器上測试10个鸡蛋，5000层楼的情况，第二个方法比第一个要快10万倍！注意到算法2也是一个动态规划问题，所以能够用一个n*m的矩阵来保存计算过程中的中间结果，算法的效率还能够得到非常大提升！

无论是算法1，还是算法2，都没有给出用n个鸡蛋怎样通过m次測试，解决k层楼的问题，对此我依据算法2给出一个思路。对于满足条件D(n,m-1)<k<=D(n,m)，的測试次数m，将D(n,m)，和D(n,m-1)依照D(n,m) = D(n -1,m-1) + 1 + D(n,m-1) 的方式展开，这里展开过程中要严格依照公式中各迭代的顺序，也就是说先是D(n-1,m-1)，然后是1，然后是D(n,m-1)，顺序不能乱，然后比較两结果，比如

这当中每一个单独的1，都代表一次独立測试，这些1后面中的中括号代表其是第几次独立測试，与其从公式中分离出来的时机相关，最早分离出来的1，其值就是[1]，第二次分离出来的1，其值就是[2]，这些1的目的就是把k层楼分解为若干个可直接计算的子部分。我们取出两者不同的部分D(1,3)+1[2]+D(1,2)+1[3]+D(2,2)+1[1]，这部分表示通过添加了一次測试，我们所获得的额外的探測能力，通过改造这部，使得这部分的和等于k-D(n,m-1)，然后将改装部分与两者的同样部分结合，形成新的结果，这些结果从前到后，相应着楼层从下到上的測试方案

上例中我们知道D(3,4)=14, D(3,5)=25，对于14 < k <= 25，我们用k减去14得到须要构造的值，尽量保留右側的算式，仅仅改变最左側的算式，比如对于k = 15，不同部分能够用1替换，对于k = 16能够用D(1,1)+1替换，对于k = 18能够用D(2,2)+1替换，对于k = 21能够用D(1,2)+1+D(2,2)+1替换。以21为例，我们将改造结果和D(3,4)，D(3,5)的同样部分结合，形成

• 这是国外牛人的一篇文章，对于扔鸡蛋问题的理论分析，让人叹服，有兴趣的读者能够看一看，进一步深挖这个问题
• 对于算法2的几个前提，我没能给出数学上的证明，那篇国外大牛的文章里面有涉及，只是那篇文章太长了，我没有看完。
• 依据D(n,m)的递推关系，或许能够得到这个数列的通项公式。
• 扔鸡蛋问题，与其说是一个动态规划问题，不如说是一个在特定场景下的数学问题，程序在该问题中很多其它价值在于验证结论。