中国剩余定理介绍

  在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），

七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

问题：除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数

中国剩余定理分析

     我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

     首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

     有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？

     这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。

 因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n1除以3余2，且是5和7的公倍数。

为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n2除以5余3，且是3和7的公倍数。

为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

    所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。

在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，

而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

    这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,

    最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？

我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。

道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结

   经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。

如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

回到上面的问题上：除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数

具体解法分三步：

找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，再乘以2得到30，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，再乘以3得到63，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70，再乘以2,得到140.

然后把三个数相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

本题：

已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i 

       使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544； 

       使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421； 

       使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。 

      因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d 

又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;

      所以有n+d=（5544×p+14421×e+1288×i）%21252

本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252

那么最终求解n的表达式就是：

n=(5544*p+14421*e+1288*i+21252)%21252-d;

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#include<iostream>

using namespace std;

int main(void)

{

int p,e,i,d;

int time=1;

while(cin>>p>>e>>i>>d)

{

if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)

break;

int lcm=21252;  // lcm(23,28,33)

int n=(5544*p+14421*e+1288*i+21252)%21252-d;

if(n<=0)

n+=21252;

cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl;

}

return 0;

}

math1006_china