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韩信点兵

2024-09-11 21:31:54   217人阅读

P1272 - 韩信点兵

Description

韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被后人奉为“兵仙”、“战神”。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为统帅，他率军出陈仓、定三秦、擒魏、破代、灭赵、降燕、伐齐，直至垓下全歼楚军，无一败绩，天下莫敢与之相争。
相传，韩信带兵打仗时，从不直接清点军队人数。有一次，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。
这次，刘邦派韩信带兵N人攻打一座重兵驻扎的城市。城市占领了，可汉军也是伤亡惨重。韩信需要知道汉军至少损失了多少兵力，好向刘邦汇报。
已知韩信发出了M次命令，对于第i次命令，他选择一个素数Pi，要求士兵每Pi人站一排，此时最后一排剩下了aiai 人。你的任务是帮助韩信求出这种情况下汉军损失兵力的最小值。当然，由于士兵们都很疲惫，他们有可能站错队伍导致韩信得到的数据有误。

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表最初的军队人数和韩信的询问次数。
接下来有M行，每行两个非负整数$Pi，， ai$，代表韩信选择的素数和此时剩下的人数。
输入保证每个素数各不相同。

Output

输出一行，一个整数。
若有解，输出最小损失人数。若无解，输出-1.

Sample Input

1500 3
3 2
5 4
7 6

Sample Output

31

Hint

对于30%的数据,1≤N≤1,000,000,1≤M≤4;
对于50%的数据，1≤N≤100,000,000,1≤M≤8;
对于100%的数据，1≤N≤1,000,000,000,000,1≤M≤10;保证所有素数的乘积≤10121012 , 0≤ai≤Pi.

Source

数论，欧几里得，中国剩余定理

 
扩展欧几里得
 
 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <algorithm>
 6 #define  ll long long
 7 using namespace std;
 8 const int N=1001;
 9 ll m[N],r[N];
10 int n;
11 ll gcd(ll a,ll b) {
12     return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b);
13 }
14 void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) {
15     if(!b) x=1,y=0;
16     else {
17         exgcd(b,a%b,x,y);
18         ll tmp=x;
19         x=y;
20         y=tmp-a/b*y;
21     }
22 }
23 ll solve() {
24     ll M=m[1],R=r[1];
25     for(int i=2;i<=n;i++) {
26         ll d=gcd(M,m[i]);    
27         ll c=r[i]-R;
28         if(c%d) return -1;
29         ll k1,k2;
30         exgcd(M/d,m[i]/d,k1,k2);
31         k1=(c/d*k1) % (m[i]/d);
32         R=R+k1*M;
33         M=M/d*m[i];
34         R%=M;
35     }
36     while    (R<=0) R+=M;
37     return R;
38 }
39 int main() {
40     
41     cin>>n;
42     for(int i=1;i<=n;i++) cin>>m[i]>>r[i];
43     printf("%lld",solve());
44     return 0;
45     
46 }

 

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