PS:这些是今年4月份，跟斯坦福UFLDL教程时的实验报告，当时就应该好好整理的…留到现在好凌乱了

Softmax Regression实验报告

1.Softmax Regression实验描述

Softmax回归模型是逻辑回归模型的推广，它可以把数据分类到两个以上的类别。在本实验中，我们的目标是采用Softmax回归模型对MNIST手写数字数据库进行分类，识别每个手写数字，把它们归类于0到9之间的10个类别。实验中需要计算成本函数J，参数Theta，成本函数的梯度，及预测假设h。

Figure1:some examples from the dataset

2.实现流程

Step 0：初始化常数和参量

Step 1 ：加载数据

Step 2 ：计算成本函数和梯度

Step 3 ：梯度检查（若检查结果差距过大，返回step2）

Step 4 ：学习参数

Step 5 ： 测试

3.每步关键点及代码、注释

Step 0：初始化常数和参量

在MNIST数据库中，每个图像都由28x28像素的方块构成。实验的分类数量为10，分别对应0-9十个数字。

Step 1 ：加载数据

练习中已经提供了两个读取数据的函数，loadMNISTImages，loadMNISTLabels。实际实验中要根据数据存放的路径，和文件名修改对应代码。

Step 2 ：计算成本函数和梯度

这是这次实验中最关键也是最难的地方。要解决这个问题，需要熟练Matlab矢量化表示，详细分析每个矩阵的维度大小，每行每列都分别什么。

数据X是一个n x m矩阵，n = inputSize 为输入向量的维度，在本实验中为每个图像的像素数28x28=784，m = numCases 为训练样本的总数，在本实验中为60,000。

假设函数h的表达式如下,在这里h是一个k x m 的矩阵。k = numClasses 为类别数，在这里是10 ：

实际运行中，这项有可能过大，导致内存溢出。处理方法是对假设函数矩阵h中的每列的指数项都减去一个常数，在这里选取每列的等于每列中最大的一项，具体实现代码如下所示。

M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));

M = exp(M);

p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));

参数Theta的结构如下，它是一个k x n的矩阵。

y是对每个手写数字图像正确分类的标签集合，是一个k x m的矩阵。

成本函数J的表达式如下：

成本函数梯度的表达式如下：

下面是matlab实现上述表达式的Matlab源码。

softmaxCost.m

%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------

% Instructions: Compute the cost and gradient for softmax regression.

% You need to compute thetagrad and cost.

% The groundTruth matrix might come in handy.

M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));

M = exp(M);

p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));

cost = -1/numCases * groundTruth(:)‘ * log(p(:)) + lambda/2 * sum(theta(:) .^ 2);

thetagrad = -1/numCases * (groundTruth - p) * data‘ + lambda * theta;

Step 3 ：梯度检查

在实际训练样本数据之前，应该总是进行梯度检查。以确保实际得到的梯度与数值计算得到的梯度尽可能接近，在本实验中要小于10 e-9。如果这个差值过大，则应该重新检查算法的实现代码。

本实验中用到了checkNumericalGradient.m函数，需要从之前的实验中获得。

在这里最后梯度检查的差值为7.4657e-10，具体运行过程已附在文后。

Step 4 ：学习参数

在本实验中优化函数常用minFunc_2009,是有Mark Schmidt 编写的一个Matlab优化工具箱，采用Limited-memory BFGS等算法实现最优化。

由于Matlab版本问题，起初使用2012版出现错误，后改用2009版minfunc才能正常运行。

优化代码如下所示：

% Use minFunc to minimize the function

addpath minFunc/

options.Method = ‘lbfgs‘; % Here, we use L-BFGS to optimize our cost

% function. Generally, for minFunc to work, you

% need a function pointer with two outputs: the

% function value and the gradient. In our problem,

% softmaxCost.m satisfies this.

minFuncOptions.display = ‘on‘;

[softmaxOptTheta, cost] = minFunc( @(p) softmaxCost(p, ...

numClasses, inputSize, lambda, ...

inputData, labels), ...

theta, options);

Step 5 ： 测试

测试时需要先把 softmaxExercise.m 中 DEBUG 设为 false ,跳过调试部分直接运行测试代码。

假设函数矩阵中h的每一列为给出的针对不同数字的概率，预测时找出每一列中概率最大的元素，令其为1，列中其余元素为0。具体实现代码如下。

softmaxPredict.m

%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------

% Instructions: Compute pred using theta assuming that the labels start from 1.

% theta : numClasses(k) x inputSize(N)

% pred : size(label) -> m x 1

M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));

M = exp(M);

h = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));

[Y,pred] = max(h, [], 1);

4.实验结果及运行环境

实验结果

对最后10,000个测试集合，预测的精确度为：92.640%

耗时：91.919秒

运行环境

处理器： AMD A6-3420M APU with Radeon(tm) HD Graphics 1.50 GHz

RAM：4.00GB(2.24GB可用)

OS：Windows 7,32 bit

Matlab：R2012b(8.0.0.783)

minFunc:minFunc_2009

5.附录：实际运行结果

>> softmaxExercise

Iteration FunEvals Step Length Function Val Opt Cond

1 3 1.92327e-01 2.10164e+00 4.70649e+01

2 4 1.00000e+00 7.85859e-01 2.66517e+01

3 6 2.46921e-01 6.62726e-01 1.44533e+01

4 7 1.00000e+00 6.09112e-01 8.55839e+00

5 8 1.00000e+00 5.38142e-01 6.62115e+00

6 9 1.00000e+00 5.17398e-01 1.71550e+01

7 10 1.00000e+00 4.64872e-01 6.08330e+00

8 11 1.00000e+00 4.51595e-01 3.75876e+00

………..

95 101 1.00000e+00 2.67229e-01 8.72547e-03

96 102 1.00000e+00 2.67227e-01 8.84766e-03

97 103 1.00000e+00 2.67226e-01 1.00373e-02

98 104 1.00000e+00 2.67225e-01 1.68570e-02

99 105 1.00000e+00 2.67224e-01 7.52862e-03

100 106 1.00000e+00 2.67223e-01 5.98523e-03

Exceeded Maximum Number of Iterations

Accuracy: 92.640%

Elapsed time is 91.878679 seconds.

>> memory

Maximum possible array: 1021 MB (1.071e+09 bytes) *

Memory available for all arrays: 1809 MB (1.897e+09 bytes) **

Memory used by MATLAB: 521 MB (5.467e+08 bytes)

Physical Memory (RAM): 2297 MB (2.408e+09 bytes)

* Limited by contiguous virtual address space available.

** Limited by virtual address space available.

>>

UFLDL实验报告1： Softmax Regression