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HDU 5667 Sequence 矩阵快速幂+费马小定理

2024-08-17 14:24:03   224人阅读

题目不难懂。式子是一个递推式，并且不难发现f[n]都是a的整数次幂。(f[1]=a0;f[2]=ab;f[3]=ab*f[2]c*f[1]...)

我们先只看指数部分，设h[n]. 则

h[1]=0;

h[2]=b;

h[3]=b+h[2]*c+h[1];

h[n]=b+h[n-1]*c+h[n-1].

h[n]式三个数之和的递推式，所以就可以转化为3x3的矩阵与3x1的矩阵相乘。于是

 h[n]　　　　 　 c  1  b　　　　h[n-1]

h[n-1]　　=　　1  0  0　　*　 h[n-2]　

   1　　　　       0  0  1　　　　   1

又根据费马小定理(ap-1%p=1,p是质数且a,p互质)可得：ah[n]%mod=ah[n]%(mod-1)%mod.

因为 ah[n]%mod= ax*(mod-1)+h[n]%(mod-1)%mod = ax*(mod-1)*ah[n]%(mod-1)%mod = ah[n]%(mod-1)%mod;

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;ll p;struct Mat{    ll mat[3][3];};Mat Multiply(Mat a, Mat b){    Mat c;    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));    for(int k = 0; k < 3; ++k)        for(int i = 0; i < 3; ++i)            if(a.mat[i][k])                for(int j = 0; j < 3; ++j)                    if(b.mat[k][j])                        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] +a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%(p-1);    return c;}Mat QuickPower(Mat a, ll k){    Mat c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    for(int i = 0; i <3; ++i)        c.mat[i][i]=1;    for(; k; k >>= 1)    {        if(k&1) c = Multiply(c,a);        a = Multiply(a,a);    }    return c;}ll Powermod(ll a,ll b){    a%=p;    ll ans=1;    for(; b; b>>=1)    {        if(b&1) ans=(ans*a)%p;        a=(a*a)%p;    }    return ans;}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    int T;    scanf("%d",&T);    ll n,a,b,c;    Mat x;    while(T--)    {        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b,&c,&p);        if(n==1)            printf("1\n");        else if(n==2)            printf("%I64d\n",Powermod(a,b));        else        {            x.mat[0][0]=c; x.mat[0][1]=1; x.mat[0][2]=b;            x.mat[1][0]=1; x.mat[1][1]=0; x.mat[1][2]=0;            x.mat[2][0]=0; x.mat[2][1]=0; x.mat[2][2]=1;            x=QuickPower(x,n-2);            ll k=(x.mat[0][0]*b+x.mat[0][2]);            printf("%I64d\n",Powermod(a,k));        }    }    return 0;}

 

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