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快排、归并排序（分治）、堆排序
一、快速排序
1）算法简介
快速排序是由C. A. R. Hoare所发展的一种排序算法。其基本思想是基本思想是，通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
2）算法描述
快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串行（sub-lists）。
步骤为：
1、从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot），
2、重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3、递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
最差时间复杂度：O(n^2)
最优时间复杂度：O(n log n)
平均时间复杂度：O(n log n)
最差空间复杂度：根据实现的方式不同而不同
3）算法代码
快速排序有很多版本，但关键是划分的思想。
void QuickSort(int L[], int l, int r)
{
int i, j, pivot;
if(l >= r)
return;
//std::swap(L[l], L[(l+r)/2]);//以中间的数作为基准数的
//int p = l + rand() % (r - l + 1); //rand_partition()
//std::swap(L[l], L[p]);
i = l, j=r, pivot = L[l];
while(i < j)
{
while(i < j && L[j] >= pivot)//从右向左找第一个比key小的数
j--;
if(i < j)
L[i++] = L[j];
while(i < j && L[i] <= pivot)//从左向右找第一个比key大的数
i++;
if(i < j)
L[j--] = L[i];
}
L[i] = pivot;
QuickSort(L, l, i-1);
QuickSort(L, i+1, r);
}void qsort1(int L[], int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
int i = l, j;
for (j = l + 1; j <= r; j++)
/* invariant: L[l+1..i] < L[l] && L[i+1..j-1] >= L[l]*/
if (L[j] < L[l]) //<
std::swap(L[++i], L[j]);
std::swap(L[l], L[i]);
/* L[l..i-1] < L[i] <= L[i+1..r]*/
qsort1(L, l, i - 1);
qsort1(L, i + 1, r);
}void qsort3(int L[], int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
int pivot = L[l];
int i = l, j = r + 1;
while(i <= j)
{
do
{
i++;
} while (i <= r && L[i] < pivot);
do
{
j--;
} while (L[j] > pivot);
if (i > j)
break;
std::swap(L[i], L[j]);
}
std::swap(L[l], L[j]);
qsort3(L, l, j - 1);
qsort3(L, j + 1, r);
}void qsort4(int L[], int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
int pivot = L[l];
int i = l - 1, j = r + 1;
while(i <= j)
{
do
{
i++;
} while (/*i <= r &&*/ L[i] < pivot);
do
{
j--;
} while (L[j] > pivot);
if (i > j)
break;
std::swap(L[i], L[j]);
}
//print(L, l, r);putchar('\n');
std::swap(L[l], L[j]);
qsort3(L, l, j - 1);
qsort3(L, j + 1, r);
}4）利用快排划分细思想求数组第k小的数，或者最小的前k个数
（1）第k小的数
//一次划分后，主元左边的数都小于主元，主元右边的数都大于或者等于主元
int Rand_Partition(int A[], int l, int r)
{
int i, j, pivot;
int p = l + rand()% (r - l + 1);
std::swap(A[l], A[p]);
pivot = A[l], i = l, j = r;
while(i < j)
{
while(i < j && A[j] >= pivot) //从右向左找第一个小于pivot的数
j--;
if(i < j)
A[i++] = A[j];
while(i < j && A[i] < pivot) //从左向右找第一个大于或等于pivot的数
i++;
if(i < j)
A[j--] = A[i];
}
A[i] = pivot;
return i;
}
int Rand_Select(int A[], int l, int r, int i) //ith big in A[l, ..., r]
{
int pivotloc, k;
if(l == r)
return A[l];
pivotloc = Rand_Partition(A, l, r);
k = pivotloc - l + 1;
if(i == k)
return A[pivotloc];
else if(i < k)
return Rand_Select(A, l, pivotloc-1, i);
else
return Rand_Select(A, pivotloc+1, r, i-k);
}（2）最小的前k个数
可以建立含有k个元素的大顶堆求解。也可以利用划分的思想,代码如下：
void GetleastNumber(int input[], int n, int output[], int k)
{
if (n <= 0 || k <= 0 || k > n)
return;
int l = 0, r = n - 1;
int pivotloc = Partition(input, l, r);
//l..|....|.....|...r
// p < k-1 <= p
while (pivotloc != k - 1)
{
if (pivotloc < k - 1)
pivotloc = Partition(input, pivotloc + 1, r);
else
pivotloc = Partition(input, l, pivotloc - 1);
}
memcpy(output, input, k * sizeof(int));
}二、归并排序
1）算法简介
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。归并排序是一种稳定的排序方法。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。
2）算法描述
归并排序具体算法描述如下(递归版本)：
1、Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。
2、Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。
3、Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
归并排序的效率是比较高的，设数列长为N，将数列分开成小数列一共要logN步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为O(N)，故一共为O(N*logN)。因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作，所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法（快速排序，归并排序，希尔排序，堆排序）也是效率比较高的。
3）算法代码
归排序代码的写法可以有集中，下面分别给出：
（1）首先分配好一个临时数组空间，避免归并函数内频繁申请内存
//将两个有序的数组a[first,...,mid], a[mid+1,...,last]合并成一个有序的（借助temp数组）
void MergeTwoSortedArray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])
{
int i = first, j = mid + 1;
int k = 0;
while ( i <= mid && j <= last)
if (a[i] < a[j])
temp[k++] = a[i++];
else
temp[k++] = a[j++];
while (i <= mid)
temp[k++] = a[i++];
while (j <= last)
temp[k++] = a[j++];
//for (i = 0; i < k; i++)
// a[first + i] = temp[i];
memcpy(a + first, temp, sizeof(int) * (last - first + 1));
}
//递归地对a[first,...,last]区间的元素二分排序再合并
void MergeSortR(int a[], int first, int last, int temp[])
{
if (first < last)
{
int mid = (first + last) / 2; //将a[first, last]平分为a[first,...,mid]和a[mid+1,...,last]
MergeSortR(a, first, mid, temp); //左边有序:递归地将a[first,...,mid]归并为有序的temp[first,...,mid]
MergeSortR(a, mid + 1, last, temp); //右边有序:递归地将a[mid+1,...,last]归并为有序的temp[mid+1,...,last]
MergeTwoSortedArray(a, first, mid, last, temp); //合并后全部有序:将有序的temp[first,...,mid]和有序的temp[mid+1,...,last]归并到a[first, last]
}
}
void MergeSort(int a[], int n)
{
int *temp = new int[n]; //临时数组
if (temp == NULL) return;
memset(temp, 0, sizeof(int)*n);
MergeSortR(a, 0, n - 1, temp);
delete []temp;
}（2）如果每次在归并函数内部分配临时的数组空间，归并函数的写法也可以有几种：//先将左右有序序列拷贝到临时数组后再直接归并到原数组
void MergeTwoSortedArray1(int a[], int first, int mid, int last)
{
int i, j;
int n1 = mid - first + 1;
int n2 = last - mid;
int *L = new int[n1]; //临时数组
int *R = new int[n2];
//for (i = 0; i < n1; i++) //左边有序序列
// L[i] = a[first + i];
//for (j = 0; j < n2; j++)
// R[j] = a[mid + 1 + j]; //右边有序序列
for (i = first; i <= mid; i++)
L[i - first] = a[i];
for (j = mid + 1; j <= last; j++)
R[j - mid - 1] = a[j];
i = 0, j = 0;
int k = first;
while (i < n1 && j < n2)
{
if (L[i] < R[j])
a[k++] = L[i++];
else
a[k++] = R[j++];
}
while (i < n1)
a[k++] = L[i++];
while (j < n2)
a[k++] = R[j++];
delete []L;
delete []R;
}//先将左右有序序列拷贝到临时数组后再直接归并到原数组(使用哨兵)
void MergeTwoSortedArray2(int a[], int first, int mid, int last)
{
int i, j;
int n1 = mid - first + 1;
int n2 = last - mid;
int *L = new int[n1 + 1]; //临时数组,末尾为哨兵元素
int *R = new int[n2 + 1];
//for (i = 0; i < n1; i++) //左边有序序列
// L[i] = a[first + i];
//for (j = 0; j < n2; j++)
// R[j] = a[mid + 1 + j]; //右边有序序列
//L[i] = INT_MAX, R[j] = INT_MAX; //末尾添加哨兵元素
for (i = first; i <= mid; i++)
L[i - first] = a[i];
for (j = mid + 1; j <= last; j++)
R[j - mid - 1] = a[j];
L[i - first] = INT_MAX, R[j - mid - 1] = INT_MAX;
i = 0, j = 0;
for (int k = first; k <= last; k++)
{
if (L[i] < R[j])
a[k] = L[i++];
else
a[k] = R[j++];
}
delete []L;
delete []R;
}void MergeSortR1(int a[], int first, int last)
{
if (first < last)
{
int mid = (first + last) / 2;
MergeSortR1(a, first, mid);
MergeSortR1(a, mid + 1, last);
MergeTwoSortedArray3(a, first, mid, last);
}
}
void MergeSort1(int a[], int n)
{
MergeSortR1(a, 0, n - 1);
}4）求逆序对
利用归并排序的思想可以实现求逆序数对
int Merge(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])
{
int inversion = 0;
int i = first, j = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid && j <= last)
{
if (a[i] <= a[j])
{
temp[k++] = a[i++];
}else //a[i] > a[j],而a[first,..,i,..,mid]递增有序,因此a[i~mid]与a[j]构成逆序对,共mid-i+1个
{
temp[k++] = a[j++];
inversion += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid)
temp[k++] = a[i++];
while (j <= last)
temp[k++] = a[j++];
memcpy(a + first, temp, sizeof(int) * (last - first + 1));
return inversion;
}
int MergeInversionR(int a[], int first, int last, int temp[])
{
int inversion = 0;
if (first < last)
{
int mid = (first + last) >> 1;
inversion += MergeInversionR(a, first, mid, temp); //找左半段的逆序对数目
inversion += MergeInversionR(a, mid + 1, last, temp);//找右半段的逆序对数目
inversion += Merge(a, first, mid, last, temp); //在找完左右半段逆序对以后两段数组有序，然后找两段之间的逆序对。最小的逆序段只有一个元素。
}
return inversion;
}
int MergeInversion(int a[], int n)
{
int inversion = 0;
int *temp = new int[n];
memset(temp, 0, sizeof(int)*n);
inversion = MergeInversionR(a, 0, n - 1, temp);
delete []temp;
return inversion;
}三、堆排序
见 利用堆实现堆排序&优先队列。
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