边缘是图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来表示，数字图像中求导是利用差分近似微分来进行的，实际上常用空域微分算子通过卷积来完成。

一阶导数算子

1)  Roberts算子

Roberts算子是一种斜向偏差分的梯度计算方法，梯度的大小代表边缘的强度，梯度的方向与边缘的走向垂直。Roberts操作实际上是求旋转45度两个方向上微分值的和。Roberts算子定位精度高，在水平和垂直方向的效果好，但对噪声敏感。两个卷积核Gx、Gy分别为：

采用1范数衡量梯度的幅度为：

2)  Sobel算子

Sobel算子是一组方向算子，从不同的方向检测边缘。Sobel算子不是简单的求平均再差分，而是加强了中心像素上下左右4个方向像素的权值，运算结果是一副边缘图。Sobel算子通常对灰度渐变和噪声较多的图像处理的比较好。两个卷积核Gx、Gy分别为：

采用范数衡量梯度的幅度为：

3)  Prewitt算子

Prewitt算子是一种边缘样板算子，利用像素点上下左右邻点灰度差，在边缘处达到极值检测边缘，对噪声具有平滑的作用。由于边缘点像素的灰度值与其邻域点的灰度值显著不同，在实际应用中通常采用微分算子和模板匹配的方法检测图像的边缘。Prewitt算子不仅能检测边缘点，而且能抑制噪声的影响，因此对灰度和噪声较多的图像处理得比较好。两个卷积核Gx、Gy分别为：

采用范数衡量梯度的幅度为：

二阶导数算子也可以检测边缘，利用二阶导数算子检测阶梯状边缘需将检测算子与图像卷积并确定过零点。

1)  Laplacian算子

拉普拉斯算子是一种常用的二阶导数算子。实际中可根据二阶导数算子过零点的性质来确定边缘的位置。对于一个连续函数f(x,y),它在位置(x,y)的拉普拉斯值定义如下：

在图像中，计算函数的拉普拉斯值也可借助各种模板实现。这里对模板的基本要求是对应中心像素的系数应是正的，而对应中心像素邻近像素的系数应是负的，且它们的和应该是零。拉普拉斯算子检测方法常常产生双像素边界，而且这个检测方法对图像中的噪声相当敏感，不能检测边缘的方向，所以很少直接使用拉普拉斯算子进行边缘检测。常用的两种模板分别如图所示：

2)  马尔算子

马尔算子是在Laplacian算子的基础上实现的。Laplacian算子对噪声比较敏感，为了减少噪声的影响，可先对图像进行平滑然后再运用Laplacian算子。由于成像时，一个给定的像素点所对应场景点的周围对该点的光强贡献呈高斯分布，所以所进行平滑的函数可以采用高斯加权平滑函数。

拉普拉斯算子与高斯滤波结合在一起，形成LOG算子，也成为拉普拉斯-高斯(Laplacian-Gauss)算子。LOG算子是对Laplacian算子的改进，他需要考虑5*5邻域的处理，从而获得更好的检测效果。

 马尔算子的计算如下：

1.  用一个2-D的高斯平滑模板与原图像卷积

2.  计算卷积后拉普拉斯值。

3.  检测拉普拉斯图像的过零点作为边缘点。

3)  Canny算子

Canny算子把边缘检测问题转换为检测单位函数极大值的问题来考虑。他利用高斯模型，借助图像滤波的概念指出一个好的边缘检测算子应该具有3个指标：

1.低失误率，既要少将真的边缘丢弃，也要少将非边缘判为边缘；

2.高位置精度，检测出的边缘应在真正的边界上；

3.单像素边缘，即对每个边缘有唯一的响应，得到的边界为单像素宽。

考虑到上述三个条件，Canny提出了判定边缘检测算子的3个准则：信噪比准则、定位精度准则和单边缘响应准则。

1.  信噪比准则

信噪比越大，提取的边缘质量越高。信噪比SNR定义为：

  其中，G(x)代表边缘函数，h(x)代表宽度为W的滤波器的脉冲响应。

2.  定位精度准则

边缘定位的精度L定义如下：

  其中，G^’(x)和h^’(x)分别是G(x)和h(x)的导数。L越大表明定位精度越高。

3.  单边缘响应准则

为了保证单边缘只有一个响应。检测算子的脉冲响应导数的零交叉点的平均距离D(f^’)应满足

满足上述三个条件的算子称为Canny算子。Canny边缘检测算法的步骤如下:

(1)用高斯滤波器平滑图像；

(2)用一阶偏导的有限差分来计算梯度的幅值和方向；

(3)对梯度幅值进行非极大值抑制；

(4)用双阈值算法进行检测和链接边缘。

Opencv提供了边缘检测函数有—Canny()、Sobel()、Lapacian()、Scharr()。

Matlab边缘检测函数很简单，仅一个edge()函数就可以搞定，例如：

clear all
clc
close all
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I=imread('rice.tif');
J1=edge(I,'roberts');
J2=edge(I,'sobel');
J3=edge(I,'prewitt');
J4=edge(I,'log');
J5=edge(I,'canny');
subplot(231),imshow(I); title('src');
subplot(232),imshow(J1);title('roberts');
subplot(233),imshow(J2);title('sobel');
subplot(234),imshow(J3);title('preitt');
subplot(235),imshow(J4);title('log');
subplot(236),imshow(J5);title('canny');

图像边缘检测小结