学习一下inside-outside算法，主要用于在已知文法结构下CFG，无监督parse。

CFG可定义为 Chomsky Normal Form， 对于生成的任何一个分析树有对应的potential值，树的potential值由其生成规则的potential值之乘积。因此对于potential的不同定义可衍生出类似的CFG，例如：

1，  将其potential定义为概率，则衍生出PCFG

2，  将其potential定义为特征的集合表示，则衍生出CRF-style CFG

类似于forward-backward算法，inside-outside算法需定义两个变量。

 定义为内部的potential加和，表示以非终结符A为root，span(A) = [x_i, x_i+1, …, x_j]的所有可能subtree的potential之和。

 定义为外部的potential加和，表示以非终结符A为root，span(A) = [x₀, x₁,…, x_i-1, A, x_j+1, …, x_n]的所有可能子结构的potential之和。

通过输入串以及CFG文法，计算inside和outside值

1， inside

初始化，如果存在于中，则其中为potential值，否则为0

通过自底向上的方法依次计算inside值，过程类似于CKY-style

 2，outside

初始化，其余都为0

通过自顶向下的方法依次计算outside值

outside值分为两个部分

即A在span(i,j)的outside值为B在span(i,k)的outside值乘以C在span(j+1,k)的inside值

即A在span(i,j)的outside值为B在span(k,i)的outside值乘以C在span(k,i-1)的inside值

因此计算公式为

通过inside和outside的值可以计算的内容如下（一个句子）：

所有可能的parse树potential值之和

在这些所有可能的parse树中，包含规则的parse树potential值之和

此外可以计算在所有可能的parse树中，存在非终结符A，span(A) = [x_i, x_i+1, …, x_j]的parse树potential值之和

因此，在PCFG中参数估算中可使用inside-outside算法，potential函数定义为规则概率。在CRF-CFG中potential函数定义为特征向量的形式。

PCFG参数估计

首先定义potential函数

通过inside-outside算法可以得到一个句子所有可能性parse树potential之和，以及包含某个规则的所有parse树potential之和，因此：

以此形式不断的迭代从而估计规则概率值

CRF-CFG参数估计(此部分还是有些不清楚)

首先定义potential函数

余下的问题就是，在CRF-CFG中估计特征权重。在传统的PCFG中使用公式计算规则数量然后归一化成概率。而在CRF-CFG中规则是以某些特征值表示，因此需要估计的是特征的权重。

然后构造似然函数

在各个参数上求偏导（梯度矩阵）

此偏导表示某一特证“实际计数得到的值”与“在参数下模型期望的值”的差值，这种差值主要变现在上式的括号中，第一部分为实际计数得到的值，第二部分为在theta参数下模型期望值。