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交换排序:快速排序
快速排序(Quick Sort)也是一种交换排序,它在排序中采取了分治策略。
快速排序的主要思想:
- 从待排序列中选取一元素作为轴值(也叫主元)。
- 将序列中的剩余元素以该轴值为基准,分为左右两部分。左部分元素不大于轴值,右部分元素不小于轴值。轴值最终位于两部分的分割处。
- 对左右两部分重复进行这样的分割,直至无可分割。
从快速排序的算法思想可以看出,这是一递归的过程。
两个问题:
要想彻底弄懂快速排序,得解决两个问题:
- 如何选择轴值?(轴值不同,对排序有影响吗?)
- 如何分割?
问题一:轴值的选取?
轴值的重要性在于:经过分割应使序列尽量分为长度相等的两个部分,这样分治法才会起作用。若是轴值正好为序列的最值,分割后,元素统统跑到一边儿去了,分治法就无效了。算法效率无法提高。-看别人写快排的时候,注意他轴值的选取哦。
问题二:如何分割?
这涉及到具体的技巧和策略。在稍后的代码中我们一一介绍。
快速排序版本一:
直接选取第一个元素或最后一个元素为轴值。这也是国内众多教材中的写法。
举个例子:
原序列 4 8 12 1 9 6
原序列 4 8 12 1 9 6
下标 0 1 2 3 4 5 轴值 pivot=4
初始化 i j
i j i不动,移动j,while(i<j && a[j]>=pivot)j--;
移动元素 1 8 12 1 9 6
i j j不动,移动i,while(i<j && a[i]<=pivot)i++;
移动元素 1 8 12 8 9 6
i,j 再次移动j,i和j相遇,结束
最后一步 1 4 12 8 9 6 pivot归位
轴值4的左右两部分接着分割……
我想你一定看懂了,并且这轴值4,真的没选好,因为分割后左部分只有一个元素。
看懂了,就动手敲代码吧!
void QuickSort(int a[], int n) //快速排序,版本一 { if (a && n > 1) { int i, j, pivot; //pivot轴值 i=0, j = n - 1; pivot = a[0]; //第一个元素为轴值 while (i < j) { while (i < j && a[j] >= pivot) j--; if (i < j) a[i++]=a[j]; while (i < j && a[i] <= pivot) i++; if (i < j) a[j--]=a[i]; } a[i] = pivot; //把轴值放到分割处 QuickSort(a, i); QuickSort(a + i + 1, n - i -1); } }
现在想想以最后一个元素为轴值的代码了,先别急着看,先动动手哦!代码如下:
void QuickSort(int a[], int n) { if (a && n > 1) { int i, j, pivot; //pivot轴值 i = 0, j = n - 1; pivot = a[j]; //最后一个元素为轴值 while (i < j) { while (i < j && a[i] <= pivot) i++; if (i < j) a[j--] = a[i]; while (i < j && a[j] >= pivot) j--; if (i < j) a[i++] = a[j]; } a[i] = pivot; //把轴值放到分割处 QuickSort(a, i); QuickSort(a + i + 1, n - i - 1); } }
轴值选取策略
为了让轴值pivot不至于无效(不让pivot出现最值的情况)。我们可以使用一些策略来改进pivot的选取。策略一:
随机选取序列中一元素为轴值。
int SelectPivot(int a[], int low, int high) { int size = high - low + 1; return a[low + rand()%size]; }选取首尾元素不就是该策略的一种特例!
策略二:
随机选取三数,取中位数。
int SelectPivot(int a[], int low, int high) { int size = high - low + 1; int p1, p2, p3; p1 = low + rand()%size; p2 = low + rand()%size; p3 = low + rand()%size; if ( a[p1] <= a[p2]) { if (a[p1] >= a[p3]) a[p3]=<a[p1]<=a[p2] return a[p1]; else { if (a[p2] <= a[p3]) return a[p2]; else return a[p3]; } } else { if (a[p1] <= a[p3]) return a[p1]; else { if (a[p2] <= a[p3]) return a[p2]; else return a[p3]; } } }它的一种特例就是,选取原序列首、尾、中间三数,取它们的中位数。
目前看来基本常用的就这两种策略。不过我得吐槽一句:如果原序列中的元素本身就是随机存放的,也就是说,各个元素出现在各个位置的概率一样。那么特别地选取首位元素和随机选取又有什么区别呢?不知大家怎么看?
还得补充一句:随机选取轴值后,记得要把它和首或尾的元素交换哦。至于为什么?你懂的!
快速排序版本二:
这也是《算法导论》上的版本。它的普遍做法是选取尾元素为pivot。重点是使用了一个分割函数:partition()。
伪代码与如下:
PARTITION(A, low, high)
1. pivot <- A[high] //选取尾元素为轴值
2. i <- low-1 //把low-1赋值给i,下同
3. for j <- low to high-1 //j的变化范围[low, high-1]
4. do if A[j] <= pivot
5. then i <- i+1
6. exchange A[i]<->A[j]
7. exchange A[i+1} <-> A[high]
8. return i+1; //返回的是分割的位置
然后,对整个数组进行递归排序:
QUICKSORT(A, low, high)
1 if low < high
2 then q <- PARTITION(A, low, high) //对元素进行分割就在这里
3 QUICKSORT(A, low, q - 1)
4 QUICKSORT(A, q + 1, high)
如果你不习惯于看伪代码,我来举个例子:(还是上面的序列)
原序列 4 8 12 1 9 6
下标 -1 0 1 2 3 4 5 轴值pivot是6
初始化 i j a[j]=a[0]=4<6,下一步先 i++;再swap(a[i],a[j]);随后j++;
交换 4 8 12 1 9 6
i j 接着移动j
i j a[j]=a[3]=1<6,下一步…
交换 4 1 12 8 9 6
i j
i j
交换 4 1 6 8 9 12 最后一步 swap(a[i+1], a[high]);或者是 swap(a[i+1], a[j]);
所以最后返回的是 i+1
用大白话讲讲上面的排序过程:用两个指针i,j,它们初始化为i=-1;j=0,接着让j不断地自增,遇到a[j]>pivot就与i交换,直到j指向末尾。
更直白的话:从头开始遍历原序列,遇到小于轴值的就交换到序列前面。
看懂了,就写代码了…
int partition(int a[], int low, int high) { int i, j; i = low - 1; j = low; while (j < high) { if (a[j] < a[high]) swap(a[++i], a[j]); j++; } swap(a[++i], a[high]); //主元归位 return i; //上面一步已经 ++i,所以这里不用 i+1 } void quicksort(int a[], int low, int high) { if (low < high) //至少两个元素,才进行排序 { int i = partition(a, low, high); quicksort(a, low, i - 1); quicksort(a, i + 1, high); } } void QuickSort(int a[], int n) { if (a && n>1) quicksort(a, 0, n - 1); }
对上面的流程再思考:看到初始化i=-1;你不觉得奇怪吗?为什么i一定要从-1开始,仔细了解了i的作用,你会发现i本可以从0开始。这种做法的partition()方法是这样的:
int partition(int a[], int low, int high) { int i, j; i = low; //这里与上一种的做法不同哦! j = low; while(j < high) { if (a[j] < a[high]) swap(a[i++], a[j]); j++; } swap(a[i], a[high]); //主元归位 return i; }
再思考:为什么j不能指向high?若是更改if(a[j]<a[high])为if(a[j]<=a[high),最后直接把a[high]交换到前面了,也就是说在while循环里面就完成了最后“主元归位”这一步。大家想想是不是?
此时的partition()是这样的:
int partition(int a[], int low, int high) { int i, j; i = low; j = low; while (j <= high) { if (a[j] <= a[high]) swap(a[i++], a[j]); j++; } return i; }
至于有时候把quicksort()和partition()写成一个函数,那是再简单不过的事情,你肯定会的。
快速排序版本三:
上面用的都是递归的方法,把递归转化非递归总是不简单的,也总让人兴奋。这个版本就是快速排序的非递归写法;
void QuickSort(int a[], int low, int high) { if (low < high) { stack<int> s; //使用STL中的栈 int l,mid,h; mid = partition(a, low, high); /* 首先存储第一次分割后的 [low, mid-1]和 [mid+1, high] 注意:这是成对存储的,取的时候注意顺序 */ if (low < mid-1) { s.push(low); s.push(mid - 1); } if (mid + 1 < high) { s.push(mid + 1); s.push(high); } //只要栈不为空,说明仍有可分割的部分 while(!s.empty()) { h=s.top(); s.pop(); l=s.top(); s.pop(); mid = partition(a, l, h); if (l < mid - 1) { s.push(l); s.push(mid - 1); } if (mid + 1 < h) { s.push(mid + 1); s.push(h); } } } }
这个非递归的写法是很有意思的,很需要技巧。仔细想想,你能明白的。
提示:用栈保存每一个待排序子序列的首尾元素下标,下一次while循环时取出这个范围,对这段子序列进行partition操作。
小结:
快速排序号称快速搞定,时间复杂度是O(nlogn)。基本上是最优的排序方法。它的写法不外乎以上三种,大同小异。看到这里。你一定彻底了解了它。以上写法,都经过了本人测试,不知道你的测试是否和我一样?
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