基本概念：

1.割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。

2.割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。

3.点连通度：最小割点集合中的顶点数。

4.割边(桥)：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。

5.割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。

6.边连通度：一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

7.缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点之间都有两条路径可达。

注：求块<>求缩点。缩点后变成一棵k个点k-1条割边连接成的树。而割点可以存在于多个块中。

8.双连通分量：分为点双连通和边双连通。它的标准定义为：点连通度大于1的图称为点双连通图，边连通度大于1的图称为边双连通图。通俗地讲，满足任意两点之间，能通过两条或两条以上没有任何重复边的路到达的图称为双连通图。无向图G的极大双连通子图称为双连通分量。

Tarjan算法的应用论述：

1.求强连通分量（见上一篇文章，本文第一行有链接）、割点、桥、缩点：

对于Tarjan算法中，我们得到了dfn和low两个数组，

low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)为后向边，v不是u的子树；

low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)为树枝边，v为u的子树；

下边对其进行讨论：

(1)若low[v]>=dfn[u],则u为割点，节点v的子孙和节点u形成一个块。因为这说明v的子孙不能够通过其他边到达u的祖先，这样去掉u之后，图必然分裂为两个子图。这样我们处理点u时，首先递归u的子节点v，然后从v回溯至u后，如果发现上述不等式成立，则找到了一个割点u，并且u和v的子树构成一个块。

//v[x]：x是割点时割成的连通分量数
void tarjan(int x)
{
    v[x]=1,dfn[x]=low[x]=++num;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    if(!v[ver[i]])
    {
        tarjan(ver[i]);
        low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
        if(dfn[x]<=low[ver[i]]) 
            v[x]++;
    }
    else 
        low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
    if((x==1&&v[x]>2)||(x>1&&v[x]>1)) 
        v[x]=2; 
    else 
        v[x]=1;  //v[x]=2表示该点为割点，注意其中第一个点要特判
}

(2)若low[v]>dfn[u],则(u,v)为割边。但是实际处理时我们并不这样判断，因为有的图上可能有重边，这样不好处理。我们记录每条边的标号（一条无向边拆成的两条有向边标号相同），记录每个点的父亲到它的边的标号，如果边(u,v)是v的父亲边，就不能用dfn[u]更新low[v]。这样如果遍历完v的所有子节点后，发现low[v]=dfn[v]，说明u的父亲边(u,v)为割边。

void tarjan(int x)
{
    vis[x]=1;
    dfn[x]=low[x]=++num;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    if(!vis[ver[i]])
    {
        p[ver[i]]=edge[i];//记录父亲边
        tarjan(ver[i]);
        low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
    }
    else if(p[x]!=edge[i])//不是父亲边才更新
        low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
    if(p[x]&&low[x]==dfn[x]) 
        f[p[x]]=1;//是割边
}

2.求双连通分量以及构造双连通分量：

对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

3.求最近公共祖先（LCA）

在遍历到u时，先tarjan遍历完u的子树，则u和u的子树中的节点的最近公共祖先就是u,并且u和【u的兄弟节点及其子树】的最近公共祖先就是u的父亲。注意到由于我们是按照DFS顺序遍历的，我们可用一个color数组标记，正在访问的染色为1，未访问的标记为0，已经访问到即在【u的子树中的】及【u的已访问的兄弟节点及其子树中的】染色标记为2，这样我们可以通过并查集的不断合并更新，通过getfather实现以上目标。

void tarjan(int x)
{
    fa[x]=x,color[x]=1;
    int i,y;
    for(i=head[x];i;i=next[i])
    if(color[y=ver[i]]==0)
    {
        tarjan(y);
        fa[y]=x;
    }
    for(i=headquery[x];i;i=nextquery[i])
    if(color[y=query[i]]==2) 
        ans[i]=get(y);
    color[x]=2;
}

参考例题：POJ 1523、2942、3694、3352、3177  Tyvj P1111 

转自：BYVoid，稍作修改