1.信息熵

     我们用一个生动的例子来说明这个概念：刚好这几天举行世界杯，我们都会猜谁会获得冠军。假设有32支球队，编号从1-32。然后问：“冠军是在1-16中吗？”，不是的话就是在6-32中，一次类推。我们最多需要猜测5次就能猜出谁是冠军（log32）。但事实上，我们可能不需要5次就能猜出来，因为像巴西，德国，意大利这样的强队获得冠军的可能性比其他的要高。然后分组的时候，把少数几支强队放在一组。，以此类推，就不需要5次就能算出来。香农不用次，而是用“比特”（Bit）这个概念来衡量信息量。他指出，以上的准确信息量是：

     其中pi为各个球队夺冠的概率，H我们称为信息熵。当p相等的时候，H最大，等于5，其他情况下均小于5.

我们来正式定义下熵，给定随机输入向量X（比如球队夺冠的概率），则：

2.信息的作用

      故事我们就不讲了，我们知道，一个事务（比如地方的一个战略决定）内部会存在着随机性，也就是不确定性，假定为U，而从外部消除这个不确定性唯一的方法是引入信息I，I的大小取决于U的大小，即I > U。当I < U时，这些信息可以消除一部分不确定性，产生新的不确定性：U’= U - I （6.3）

      在网页搜索中，本质就是从大量（几十亿）网页中找到和用户输入相关的网页。几十亿个网页，不确定性U很大，我们的目的就是要减少U，也就是尽量消除不确定性。如果提供的信息不够多，网页量还是很大，这时，正确的做法是挖掘新的隐含信息，比如网页本身的质量信息，如果还不行，就问用户。不正确的做法是在关键词上玩数字和公式游戏，甚至引入人为假设，这和蒙没什么区别。

知道的信息越多，随机事件的不确定性就越小。这些信息可以是直接的，也可以是间接（相关）的。由于这些“相关”信息的存在，在此，我们引入条件熵的概念。

       假设X、Y是两个随机变量，X是我们需要了解的。假定我们知道了X的分布P（X），那么就知道了X的熵（6.2），假定我们还知道Y的一些情况，包括X和Y一起出现的概率（即联合概率）以及Y取不同值的前提下X的概率分布（条件概率）。则X在Y下的条件熵为： 

      我们可以证明一元模型的信息熵最大，三元最小，即三元模型最好。

      综上，其实我们就是讲了信息的作用在于消除不确定性，NLP的大量问题就是找相关的信息。

3.延伸阅读：信息论在信息处理中的应用

3.1 互信息

      香农在信息论中，提出了“互信息”的概念，用来量化度量两个随机事件“相关性”。假定两个随机时间X和Y，则他们的互信息定义如下：

      这个公式就比较清楚了，哦~其实就是在有了Y的前提下，对消除X的不确定性所提供的信息量。

      在NLP中，我们很容易就能统计出p(x,y),P(x)和p(y)。进而算出互信息。

      举个实际应用的例子。美国总统布什（Bush），也可以翻译成灌木丛。我们怎么去正确翻译Bush呢？有人说，加上总统做宾语时，主语就是个人名，但是这样的话，其他多意单词也要有相关的规则，总的下来就得有无数的规则来规范我们的机器翻译结果。而且主席（总统）未必是一个国家的，很多国际组织的都有一个国家作为轮值主席。那么，最好的办法，就是使用互信息了。一般作为总统布什的时候，他总是和总统，华盛顿，美国，白宫一起出现，同样的，作为灌木丛的时候，一般和土壤，植物，野生等一起出现。有了这样的两组词，我们就可以看上下文来判断Bush的意思。

3.2 相对熵

      相对熵，又名“交叉熵”。它也用来衡量相关性，但不同的是，它用来衡量两个取值为正的函数的相似性，定义如下：

　　我们不用关心公式怎样，再复杂，也有电脑计算。我们只要记住下面三条结论就好：

　　1.对两个完全相同的函数，相对熵为0

　　2.相对熵越大，函数差异越大

　　3.对于概率分布或者概率密度函数，如果取值均大于0，相对熵可以度量两个随机分布的差异性。

　　相对熵应用很多，比如可以用来衡量两个常用词（在语法和语义上）在不同文本中的概率分布，以判断那他们是否同义；或者根据两篇文章中不同词的分布，看看他们的内容是否相近等。利用相对熵，可以得到信息检索中一个最重要的概念：TF-IDF。

　　信息熵是对不确定性的衡量，因此可以向向它能直接衡量统计语言模型的好坏。因为有了上下文关系，所以我们应该用条件熵。若再考虑从训练语料和真实应用的文本中得到的概率函数有偏差，就要引入相对熵。贾里尼克从条件熵和信息熵出发，定义了语言模型复杂度的概念。用于衡量语言模型的好坏。

第六章:信息的度量和作用