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BZOJ 4816

2024-09-14 13:21:08   208人阅读

思路：

$\Pi_{i=1}^n\Pi_{j=1}^m f[gcd(i,j)]$

$=\Pi_{d=1}^n\Pi_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\Pi_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}f[d]*(gcd(i,j)==1)$

$\Sigma_{k=1}^n\Pi_{d|k}\Pi_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor}\Pi_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor}*f[d]*\mu(k)$

设dk=t

$=\Sigma_{t=1}^n\Pi_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\Pi_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{t}\rfloor}\Pi_{d|t}f[d]*\mu(\frac{t}{d})$

$=\Sigma_{t=1}^n\Pi_{d|t}f[d]^{\mu(\frac{t}{d})*\lfloor\frac{n}{t}\rfloor*\lfloor\frac{m}{t}\rfloor}$

设$g(t)=\Pi_{d|t}f[d]^{\mu(\frac{t}{d})}$

$g(t)可以O(nlogn)预处理$

搞个前缀积

剩下的 喜闻乐见 分块

//By SiriusRen#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int N=1000005,mod=1000000007;int n,m,cases,f[N],vis[N],prime[N],g[N],mu[N],tot;typedef long long ll;int pow(ll x,int y){    ll res=1;    while(y){        if(y&1)res=res*x%mod;        x=x*x%mod,y>>=1;    }return res;}void shai(){    mu[1]=f[1]=g[0]=1;    for(int i=2;i<N;i++){        if(!vis[i])mu[i]=-1,prime[++tot]=i;        for(int j=1;i*prime[j]<N&&j<=tot;j++){            vis[i*prime[j]]=1,mu[i*prime[j]]=-mu[i];            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}        }        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;    }    for(int i=1;i<N;i++)g[i]=1;    for(int i=1;i<N;i++){        int ni=pow(f[i],mod-2);        for(int j=1;i*j<N;j++){            if(mu[j]==1)g[i*j]=(1ll*g[i*j]*f[i])%mod;            else if(mu[j]==-1)g[i*j]=(1ll*g[i*j]*ni)%mod;        }    }    for(int i=1;i<N;i++)g[i]=(1ll*g[i]*g[i-1])%mod;}int main(){    shai();    scanf("%d",&cases);    while(cases--){        scanf("%d%d",&n,&m);        if(n>m)swap(n,m);        ll ans=1;        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){            r=min(n/(n/l),m/(m/l));            ans=ans*pow(1ll*g[r]*pow(g[l-1],mod-2)%mod,1ll*(n/l)*(m/l)%(mod-1))%mod;        }printf("%lld\n",ans);    }}

 

BZOJ 4816


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