OpenCASCADE Root-Finding Algorithm

eryar@163.com

Abstract. A root-finding algorithm is a numerical method, or algorithm, for finding a value x such that f(x)=0, for a given function f. Such an x is called a root of the function f. In OpenCASCADE math package, implemente Newton-Raphson method to find the root for a function. The algorithm can be used for finding the extrema value for curve or surface, .i.e Point Inversion, find the parameter for a point on the curve or surface. The paper focus on the usage of OpenCASCADE method and its application. 

Key Words. OpenCASCADE, Extrema, Newton-Raphson, Root-Finding, FunctionRoot 

1. Introduction

代数方程求根问题是一个古老的数学问题，早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明n>=5次的一般代数方程式不能用代数公式求解。在工程和科学技术中，许多问题常常归结为求解非线性方程的问题，因此，需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。 

我国古代宋朝数学家秦九韶在他1247年所著的《数书九章》中，给出一个求代数方程根的近似方法，这个方法一般书上都称为和纳Horner方法（英国数学家W.G.Horner）。实际上Horner在1819年才提出这个方法，比秦九韶晚五百多年。每当看到教科书中这样的介绍不知是该骄傲，还是该嗤之以鼻。古人发明创造的东西比外国人早，而现在国内用于CAD、CAM的软件大都是国外进口的，像CATIA，AutoCAD，Pro/E，UG NX，SolidWorks，AVEVA Plant/Marine，Intergraph，ACIS，Parasolid……等等不胜枚举，很少看到中国软件的身影。而这些软件广泛应用于航空、造船、机械设计制造、工厂设计等各个行业，每年的软件授权费用不知几何？衷心希望当代国人奋发作为，为世界增添色彩。 

闲话少说，本文主要关注非线性方程的数值解法，重点介绍了Newton-Rophson法及在OpenCASCADE中应用，即求点到曲线曲面的极值，也就是曲线曲面点的反求参数问题。对数值算法感兴趣的读者，可以参考《数值分析》、《计算方法》之类的书籍以获取更详细信息。 

2.Numerical Methods

方程求根的方法有很多，在《数学手册》中列举了如下一些方法： 

v 秦九韶法； 

v 二分法； 

v 迭代法； 

v 牛顿法Newton’s Method； 

v 弦截法； 

v 抛物线法； 

v 林士谔－赵访熊法； 

其中二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根也不能求虚根，且收敛较慢。 

Newton法在单根邻近收敛快，具有二阶收敛速度，但Newton法对初值要求比较苛刻，即要求初值选取充分靠近方程的根，否则Newton法可能不收敛。扩大初值的选取范围，可采用Newton下山法。 

Newton’s Method的实现原理的演示动画如下图所示： 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/NewtonIteration_Ani.gif

Figure 2.1 Newton’s Method(Newton-Raphson)  

由上面的动画可以清楚理解Newton法的原理。用数学的文字描述如下：设f(x)二次连续可导，xk是f(x)=0的第k次近似解。我们用曲线y=f(x)过点(xk,yk)的切线Lk： 

来近似曲线f(x)。取Lk与X轴的交点为f(x)=0的第k+1次近似解为： 

Figure 3.2 Newton-Raphson Method 

其中： 

称为Newton公式。 

Newton法对初值x0要求苛刻，在实际应用中往往难以满足。Newton下山法是一种降低对初值要求的修正Newton法。 

关于Newton方法的公开课的视频我找到网易上有节课，介绍了Newton方法的原理及用法，网址为：http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html，在后半部分。老师用实际例子来讲解还挺有意思的，感兴趣的读者也可以完整地看看，也可复习下微积分的知识点。 

3.OpenCASCADE Function Root

OpenCASCADE的math包中实现了方程求根的算法，相关的类有math_FunctionRoot，math_FunctionRoots，math_NewtonFunctionRoot等。在《Fundation Classes User’s Guide》中有对通用数学算法的介绍，即OpenCASCADE中实现了常见的数学算法： 

v 求解线性代数方程的根的算法； 

v 查找方程极小值的算法； 

v 查找非线性方程（组）的根； 

v 查找对角矩阵的特征值及特征向量的算法； 

所有的数学算法以相同的方式来实现，即：在构造函数中来做大部分的计算，从而给出适当的参数。所有相关数据都保存到结果对象中，因此所有的计算尽量以最高效的方式来求解。函数IsDone()表明计算成功。如下所示分别为采用不同的算法来计算如下方程在[0，2]区间上的根： 

实现程序代码如下所示： 

/**    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.**        File    : Main.cpp*        Author  : eryar@163.com*        Date    : 2014-10-20 18:52*        Version : 1.0v**    Description : Test OpenCASCADE function root algorithm.**      Key words : OpenCASCADE, Newton-Raphson, Root-Finding Algorithm, FunctionRoot*/#define WNT#include <Precision.hxx>#include <math_FunctionWithDerivative.hxx>#include <math_BissecNewton.hxx>#include <math_FunctionRoot.hxx>#include <math_NewtonFunctionRoot.hxx>#pragma comment(lib, "TKernel.lib")#pragma comment(lib, "TKMath.lib")class TestFunction : public math_FunctionWithDerivative{public:    virtual Standard_Boolean Value(const Standard_Real X, Standard_Real& F)    {        F = pow(X, 6) - X - 1;        return Standard_True;    }    virtual Standard_Boolean Derivative(const Standard_Real X, Standard_Real& D)    {        D = 6 * pow(X, 5) - 1;        return Standard_True;    }    virtual Standard_Boolean Values(const Standard_Real X, Standard_Real& F, Standard_Real& D)    {        Value(X, F);        Derivative(X, D);        return Standard_True;    }};void TestFunctionRoot(void){    TestFunction aFunction;    math_FunctionRoot aSolver1(aFunction, 1.5, 0.0, 0.0, 2.0);    math_BissecNewton aSolver2(aFunction, 0.0, 2.0, 0.0);    math_NewtonFunctionRoot aSolver3(aFunction, 1.5, Precision::Confusion(), Precision::Confusion());    std::cout << aSolver1 << std::endl;    std::cout << aSolver2 << std::endl;    std::cout << aSolver3 << std::endl;}int main(int argc, char* argv[]){    TestFunctionRoot();    return 0;}

由上述代码可知，要想使用求根算法，必须从math_FunctionWithDerivative派生且重载其三个纯虚函数Value(), Derivative(), Values()，在这三个纯虚函数中计算相关的值及导数值即可。所以实际使用时，正确重载这三个函数是正确使用求根算法的关键。 

求根用了三个不同的类，即三种方法来实现： 

v math_FunctionRoot：即Newton-Raphson法； 

v math_BissecNewton：是Newton-Raphson和二分法的组合算法； 

v math_NewtonFunctionRoot：Newton Method； 

计算结果如下图所示： 

Figure 3.1 Root-Finding result of OpenCASCADE 

由计算结果可知，三种方法计算的结果相同，都是1.13472，与书中结果吻合。但是math_NewtonFunctionRoot的迭代次比math_FunctionRoot多一次，且计算精度要低很多。 

使用math_BissecNewton求根不用设置初始值，比较方便，精度与math_FunctionRoot一致。 

4.Application

在工程和科学技术中，许多问题常常归结为求解非线性方程的问题。在OpenCASCADE中的应用更多了，从下面一张类图可见一斑： 

Figure 4.1 math_FunctionWithDerivative class diagram 

由图可知，从类math_FunctionWithDerivative派生出了很多可导函数的类，这些函数都可用于求根的类中，从而计算出对应方程的根。 

下面给出一个实际应用，即曲线曲面上点的反求问题，来说明如何应用上述求根算法来解决实际的问题。由于曲线曲面的参数表示法，通过参数u或(u,v)可以方便地求出曲线上的点或曲面上的点。若给定一个点P(x,y,z)，假设它在p次NURBS曲线C(u)上，求对应的参数u’使得C(u’)=P，这个问题称为点的反求（point inverse）。在OpenCASCADE中提供了简单的函数接口来实现点的反求，使用类为GeomLib_Tool： 

如何将点的反求问题归结为方程求根的问题，就要根据条件来建立方程了。一种简单并完全可以解决这一问题的方法是：利用Newton迭代法来最小化点P和C(u)的距离，如下图所示。如果最小距离小于一个事先指定的精度值，则认为点P在曲线上。这种方法有效地解决了更一般的“点在曲线上的投影”的问题。 

因为方程求根的Newton方法需要指定初值u0，所以可按如下方法得到一个用于Newton法的初值u0： 

v 如果已知点P在给定精度内位于曲线上，则用强凸包性确定候选的段，对于一般的点到曲线的投影问题，则选择所要的段作为候选段； 

v 在每个候选段上，计算n个按参数等间隔分布的点。计算出所有这些点和点P的距离，选择其中距点P最近的点的参数作为u0。点数n一般利用某种启发的方法来选择。 

Figure 4.2 Point projection and Point inversion 

需要强调的是使用Newton方法，一个好的初值对于迭代的收敛性及收敛速度是非常重要的。现在假设已经确定了初值u0，利用数量积定义函数： 

不管P点是否位于曲线上，当f(u)=0时，点P到C(u)的距离达到最小。对f(u)求导得： 

代入Newton迭代公式得： 

在OpenCASCADE中曲线点的反求主要是使用了派生自math_FunctionWithDerivative的类Extrema_PCFOfEPCOfExtPC，类图如下所示： 

Figure 4.3 class diagram for point inverstion 

所以需要实现三个纯虚函数Value(), Derivative(), Values()，将其实现代码列出如下所示： 

Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Value (const Standard_Real U, Standard_Real& F){  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();  myU = U;  Vec D1c;  Tool::D1(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c);  Standard_Real Ndu = D1c.Magnitude();  if (Ndu <= Tol) { // Cas Singulier (PMN 22/04/1998)    Pnt P1, P2;    P2 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU + delta);    P1 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU - delta);    Vec V(P1,P2);    D1c = V;    Ndu = D1c.Magnitude();    if (Ndu <= Tol) {      Vec aD2;      Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,aD2);          Ndu = aD2.Magnitude();           if(Ndu  <= Tol)       return Standard_False;      D1c = aD2;        }  }    Vec PPc (myP,myPc);  F = PPc.Dot(D1c)/Ndu;  return Standard_True;}//=============================================================================Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Derivative (const Standard_Real U, Standard_Real& D1f){  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();  Standard_Real F;  return Values(U,F,D1f);  /* on fait appel a Values pour simplifier la                  sauvegarde de l‘etat. */}//=============================================================================Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Values (const Standard_Real U, Standard_Real& F, Standard_Real& D1f){  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();  myU = U;  Vec D1c,D2c;  Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,D2c);  Standard_Real Ndu = D1c.Magnitude();  if (Ndu <= Tol) {// Cas Singulier (PMN 22/04/1998)    Pnt P1, P2;    Vec V1;    Tool::D1(*((Curve*)myC),myU+delta, P2, V1);    Tool::D1(*((Curve*)myC),myU-delta, P1, D2c);    Vec V(P1,P2);    D1c = V;    D2c -= V1;    Ndu = D1c.Magnitude();    if (Ndu <= Tol) {      myD1Init = Standard_False;      return Standard_False;    }  }    Vec PPc (myP,myPc);  F = PPc.Dot(D1c)/Ndu;  D1f = Ndu + (PPc.Dot(D2c)/Ndu) - F*(D1c.Dot(D2c))/(Ndu*Ndu);  myD1f = D1f;  myD1Init = Standard_True;  return Standard_True;}

根据代码可知，实现原理与上述一致。下面给出一个简单的例子，来说明及方便调试点的反求算法。示例程序代码如下所示： 

/**    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.**        File    : Main.cpp*        Author  : eryar@163.com*        Date    : 2014-10-20 18:52*        Version : 1.0v**    Description : Test OpenCASCADE function root algorithm.**      Key words : OpenCascade, Extrema, Newton‘s Method*/#define WNT#include <math_FunctionRoots.hxx>#include <math_NewtonFunctionRoot.hxx>#include <Extrema_PCFOfEPCOfExtPC.hxx>#include <GC_MakeCircle.hxx>#include <GeomAdaptor_Curve.hxx>#pragma comment(lib, "TKernel.lib")#pragma comment(lib, "TKMath.lib")#pragma comment(lib, "TKG3d.lib")#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")void TestExtrema(void){    Handle_Geom_Curve aCircle = GC_MakeCircle(gp::XOY(), 2.0);    GeomAdaptor_Curve aCurve(aCircle);    Extrema_PCFOfEPCOfExtPC aFunction(aCircle->Value(0.123456789), aCurve);    math_FunctionRoots aSolver1(aFunction, -2.0, 2.0, 10);    math_NewtonFunctionRoot aSolver2(aFunction, 0.0, 0.0, 0.0);    aSolver1.Dump(std::cout);    std::cout << "========================================" << std::endl;    aSolver2.Dump(std::cout);}int main(int argc, char* argv[]){    TestExtrema();    return 0;}

根据圆上一点，求出对应的参数值，计算结果如下所示： 

5.Conclusion

Newton法可以选作对导数能有效求值，且导数在根的邻域中连续的任何函数方程的求根方法。Newton法在单根邻近收敛快，精度高，具有二阶收敛速度，但Newton法对初值要求比较高，即要求初值选取充分靠近方程的根，否则Newton法可能不收敛。 

OpenCASCADE的math包中提供了求根的几种实现算法，虽然代码有些乱，但是这种抽象的思想还是相当不错的，便于扩展应用。理解了math_FunctionRoot的算法，进而可以理解从math_FunctionWithDerivative派生的类的原理了。 

通过曲线上点的反求问题引出使用求根算法的具体实例，从中可以看出关键还是要将实际问题抽象成一个方程。有了方程，根据Newton迭代公式，求出相应的值和导数值，就可以得到方程的高精度的根了。 

对数值算法感兴趣的读者，可以参考《计算方法》、《数值分析》等相关书籍，从而可以在理解OpenCASCADE的代码的基础上，可以自己来实现相关算法。 

6. References

1. 数学手册编写组. 数学手册. 高等教育出版社. 1979 

2. 赵罡，穆国旺，王拉柱译. 非均匀有理B样条. 清华大学出版社. 2010 

3. Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer-Verlag. 1997 

4. 易大义，沈云宝，李有法编. 计算方法. 浙江大学出版社. 2002 

5. 易大义，陈道琦编. 数值分析引论. 浙江大学出版社. 1998 

6. 李庆杨，王能超，易大义.数值分析.华中理工大学出版社. 1986 

7. 同济大学数学教研室. 高等数学(第四版). 高等教育出版社. 1996 

8. Newton‘s Method video:  

http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html

9. http://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithm

10. http://mathworld.wolfram.com/Root-FindingAlgorithm.html

11. http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html

OpenCASCADE Root-Finding Algorithm