一道很好的EZOI模拟赛的题

忘了原题了……

【题目描述】

有两个集合 X 和 Y , 每个集合中有 n 个正整数元素, 分别为 1 , 2 , .....n.。现在要从这两个集合中各选一个元素, 并要求这两个元素的乘积小于等于 n.

求选这两个元素的方案数.

【数据范围】

对于 30% 的数据,n<=500.

对于 50% 的数据,n<=5000.

对于 70% 的数据,n<=10^6.

对于 100% 的数据,n<=10^10; T<=300

思路：

首先想到的思路显然是O(T n^2)，显然不行

手算想一想发现O(T n)做法，即 ans= n / 1 + n / 2 + .......+ n / n-1 + n / n

但其实这个是过不了70%数据的，、

再想一下发现后 n / 2 个都是1，所以复杂度变成：O(T n/2)，勉勉强强能过70%

对于100%的数据，

听说是一种叫数论分块的东西，不大会……还是说说我自己的思路：

推一会发现一些性质：

1.方案数只有√n z种不同

2.对于前tmp个数，第 i 个数的方案数-第 i+1个方案数 就是在√n 之后的，方案数为 i 的个数

3.tmp的定义：如果 √n * √n（都是向下取整后的）> n - √n，则tmp=√n -1；否则为 √n

数：       1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15

方案数：15  7  5  3  3  2  2  1  1  1   1   1   1   1   1 

所以可以通过tmp次循环，累计 n / i 的同时算出对应的 tmp之后的方案数

这样我们就得到了O(T √n)的做法

但是还有一个更神的！！（sts树套树大爷%%%%%）

我们发现方案数 y 和数 x 成反比例（画个图）

所以乘积<=n的方案数，实际上是（以x为横轴，y为纵轴，第一象限）反比例图像下方，1--n 范围内整点的个数，就是面积

反比例图像上的每个点都为n

从1 循环到 √n，每次sum累计 n / i ，这样得到的就是1--√n的面积，

之后sum*2-√n*√n，得解

（sts树套树大爷%%%%%）

【YY】second