首页 > 代码库 > 笔试算法题（44）：动态规划（Dynamic Programming）

笔试算法题（44）：动态规划（Dynamic Programming）

2024-07-06 04:44:42   225人阅读

议题：动态规划（Dynamic Programming）

分析：

  • DP主要用于解决包含重叠子问题（Overlapping Subproblems）的最优化问题，其基本策略是将原问题分解为相似的子问题，通过求解并保存最简单子问题的解，然后逐步合并成为原问题的解，由于需 要查询子问题的解，所以需要一个表格记录子问题的解；DP仅适用于最优子结构问题（Optimal Substructure），也就是局部最优解相当于（或者近似于）全局最优解；

  • 对于原问题而言，当递归地自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题可能与之前差生的子问题重复（如Fibonacci数列的求解）；DP通过自底向上 求解子问题的解并将其保存在一个表格中，当再次遇到相同子问题时就直接通过查表得到其解（分治算法的子问题则是完全独立子空间）；使用DP之前需要判定当 前问题是否具有下述三个特性：

    最优子结构：无论之前的状态和决策如何，当前的局部最优解是构成全局最优解的必要条件；

    无后效性：对于某个给定的阶段状态而言，在此之前的所有决策和状态都无法直接影响未来的决策，而只能通过当前的决策和状态影响；

    空间需求度：DP实际上是一种空间换时间的策略，在求解的过程中需要不断存储子问题的解并提供合理的查询方式；
  • DP的四个步骤

    划分阶段：注意划分之后的阶段必须是有序或者可排序的；

    确定状态和状态变量：将划分后的子问题使用不同状态表示，并满足无后效性；

    确定决策并写出状态转移方程：根据相邻两个阶段的状态关系得出转移方程；

    寻找边界条件：给出的转移方程是一个递归式，需要最终确定一个终止条件；

    最长公共子序列的DP解法

  • LCS问题与LIS（Largest Incremental Sub-sequence）问题类似，将原字符串A进行排序之后得到B，则A的LIS就是A和B的LCS。另外也可以直接使用DP；

  • 解法1：Largest Common Sub-string，如果将需求理解为公共子串的字符必须相连，则解法如下：将字符串A的每一个字符依次匹配B的每一个位置，时间复杂度O(MN)，M 和N分别为A和B的长度，同样也可以使用DP填表的方式求解。KMP算法也可以求解，时间复杂度为O(M+N)；

  • 解法2：Largest Common Sub-Sequence，如果将需求理解为公共子串的字符可以分离，则为经典的LCS问题（也可以理解为求两个集合的顺序交集），则解法如下：动态规划 （DP），动态规划一般应用于具有最优子结构的问题，也就是局部最优解可以决定全局最优解；动态规划的关键点在问题的拆分和状态关系的转移；

  • 给定first[1,m]和second[1,n]，求LCS(first[1,m],second[1,n])，

    如果first和 second的最后一个字符相同，则有first[m]=second[n]=result[k]，这样问题化解为给定first[1,m-1]和 second[1,n-1]，求LCS(first[1,m-1],second[1,n-1])，原问题转化为 LCS(first[1,m],second[1,n])= LCS(first[1,m-1],second[1,n-1]) +1

    如果first和second的最后一个字符不相同，则问题化解为result[1,k]= max{LCS(first[1,m-1],second[1,n]), LCS(first[1,m],second[1,n-1])

样例：

 1 /**
 2  * 利用动态规划，使用簿记matrix的方法记录小子问题，然后重复利用
 3  * 小子问题解决合成问题，最终解决整个问题。
 4  * 在first和second组成的二维表中，一共有三种状态转移方式：
 5  * 如果first[m]=second[n]，则跳到first[m-1]和second[n-1]
 6  * 如果first[m]!=second[n]，则跳到first[m-1]和second[n]，
 7  * first[m]和second[n-1]的LCS中较大的一个
 8  * 需要设定初始状态为0
 9  * */
10 void lcs2(char *first, int lfirst, char *second, int lsecond) {
11         int *dir=new int[lfirst*lsecond];
12         int *dis=new int[lfirst*lsecond];
13         /**
14          * 保留first和second的第一个字符，将其dis设置为0，便于实现簿记
15          * dir矩阵中：0表示up-left移动；1表示left移动;2表示up移动
16          * */
17         for(int i=0;i<lfirst;i++)
18                 dis[i]=0;
19         for(int i=0;i<lsecond;i++)
20                 dis[i*lfirst]=0;
21 
22         for(int j=1;j<lsecond;j++) {
23                 for(int i=1;i<lfirst;i++) {
24                         if(first[i]==second[j]) {
25                                 /**
26                                  * 如果当前字符相等，则说明[i,j]长度的LCS为
27                                  * [i-1,j-1]长度的LCS 加上1；
28                                  * up-left移动
29                                  * */
30                                 dis[i+j*lfirst]=
31                                                 dis[(i-1)+(j-1)*lfirst]+1;
32                                 dir[i+j*lfirst]=0;
33                         } else if(dis[i+(j-1)*lfirst] >
34                                                 dis[(i-1)+j*lfirst]) {
35                                 /**
36                                  * 如果当前字符不等，并且[i,j-1]长度的LCS大于
37                                  * [i-1,j]长度的LCS，则当前[i,j]长度的LCS等于
38                                  * [i,j-1]产度的LCS
39                                  * up移动
40                                  * */
41                                 dis[i+j*lfirst]=
42                                                 dis[i+(j-1)*lfirst];
43                                 dir[i+j*lfirst]=2;
44                         } else {
45                                 /**
46                                  * 如果当前字符不等，并且[i-1,j]长度的LCS大于
47                                  * [i,j-1]长度的LCS，则当前[i,j]长度的LCS等于
48                                  * [i-1,j]产度的LCS
49                                  * left移动
50                                  * */
51                                 dis[i+j*lfirst]=
52                                                         dis[(i-1)+j*lfirst];
53                                 dir[i+j*lfirst]=1;
54                         }
55                 }
56         }
57 
58         showLCS(first, dir, lfirst-1, lsecond-1, lfirst);
59 
60         delete [] dir;
61         delete [] dis;
62 }

 

参考连接：
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482
http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming
http://blog.csdn.net/sharpdew/article/details/763180


联系
我们