二进制加法

　　任何一个二进制数都是由一个以上的比特组成，是一个比特串。为了突出组成它的每个比特，一个二进制数可以表示成（如果它包含了6比特的话）：

　　在这里，a0...a5都是单个的比特，是这个二进制数的每一位。所以，如果a5a4a3a2a1a0=110101，那么它们的对应关系就如图所示。

　　如果两个二进制数相加时，先把它们右对齐，叠在一起：

　　因为最先相加的是最右边那一列，即a0和b0，所以这里没有从其他列来进位，属于单纯的两个比特相加。不考虑其他列的进位时，两个比特相加有4种可能，如下图：

　　倒数第二列不是单纯的a1和b1相加，还可能会收到最右边那列的进位，这样一列实际上就是三个比特相加。如果存在其他列的进位时，两个比特相加有下面4种可能。

全加器

　　二进制做加法时，不管哪一列相加，情况都和刚才讨论的一样，每一列都有可能需要加上前一列的进位，相加的结果可能是0，也有可能是1，并且它自己也可能会把一个进位1给到下一位。

　　既然加法都是按列进行的，而且每一列的计算过程都一样，那么完全可以设计一个电路（内部实现忽略）来完成每一列的相加过程。下面是全加器示意图：

　　在图中，A和B分别是来自被加数和加数的一个比特，它们正好在同一列上；C1是来自右边一列的进位；C0是本列产生的进数；S是本列的“和”。为了表明这个电路的用途，我们在图的中间加了一个求和符号。

加法机

 　　有了全加器，解决了二进制加法过程中每一列的计算问题，那么，我们可以搞一大堆全加器，根据被加数和加数的比特数，把它们串联起来组成一个完整的加法电路。

　　图中，两个二进制数a2a1a0和b2b1b0分别是被加数和加数，组成它们的每一个比特都可以用开关的闭合与断开来得到，而S3S2S1S0则是加法的结果。当然，它只能计算3位二进制的加法，要是你觉得少，想要计算更大的，更多比特的二进制数，就要使用更过的全加器。

　　当把所有的全加器连接在一起，封装到一起的时候，我们就会看到一个完整的加法机。要想使他真正工作起来，需要用一些开关从电源取电，为它输入两个二进制数。同时，还可以将所有的输出和灯泡连接起来，这样就能直观地看到相加的结果。

　　下面，把加法机画成了两边高中间凹的桶形，这很形象地表明它要接收两路输入，相加后形成一路输出。使用两排开关分别给出被加数和加数，加法机就会算出结果。

使用总线

 　　下图中的RA和TB是临时寄存器，其中的GA和GB用来同时控制控制总线上面多条线路的通断。上面电路图中的加数、被加数是两个输入，这里被放到一了起。

　　在工作之前，K_GA、K_GB、K_RA、K_TR都是断开的。我们采用的例子是计算：10+5+7+2+6

　　1.我们首先要做的是用左边那排开关扳出第一个数“10”，接下来，按住K_GA不要松，使GA打开，于是数据达到寄存器RA；接着，再按一下K_RA，引发一个上升沿，架构数据锁进RA，最后，松开K_GA。装载过程已经结束，第一个数“10”已经位于寄存器RA中了。

　　2.现在，我们要用第二个数与他相加。这需要再次扳动那排开关，得到第二个数字“5”。然后，按住K_GA不要松开，使“5”进入加法器下面的输入端（上面操作也会到达这个输入端）。由于RA中保留着数字“10”，加法器是自动即时相加的，它会立即计算出相加的结果“15”。此时，按一下K_TR，引发一个上升沿，将运算结果保存到临时寄存器TB中，然后松开K_GA。

　　3.直接按住不要K_GB松手，使计算结果从寄存器TR通过GB流向RA；接着，按一下K_RA将数据锁存，最后将K_GB松开。

　　在这到加法题中，除了第一个数字“10”需要预先保存到寄存器RA之外，从第二个数字“5”开始，一直到最后的数字“6”，所有数字在相加的操作过程都是一样的，都要经历用开关扳数、相加并保存到寄存器TR，然后从TR移动到RA的过程，这个过程可以简单地称为“相加”。当最后一个数完成之后，最终的结果仍然在寄存器RA中。

控制器

 　　下面对加法器进行优化，引入循环移位寄存器RR，它有两个输出t₀和t₁，并且可以设置一个初始状态，然后t₀和t₁的状态会交替变换。

　　现在分析一下这个新的设计是如何运作的。在开始之前，应该先设置循环移位寄存器RR的初始状态，使它的两个输出t₀和t₁分别为1和0。

　　装载1.装载第一个数字到寄存器RA，这需要用左边那排开关来扳出这个数字。接着，闭合K_装载，断开K_相加，下面是装载数据的电路状态。

　　I_GA=1，现在数据已经送到寄存器RA的嘴边了（可以参考“使用总线”一节的电路），但是它还是吃不了，因为I_RA=0。如果想让数据保存到RA中去，必须按下K。

　　装载2.现在，我们按下开关K。随着K的接通，将同时产生两个脉冲，第一路通过非门到达循环移位寄存器RR。遗憾的是，这是一个由高到低的下降沿，RR不会理睬。这也意味着，“我们得新电路”仍然保持原来的输出纹丝不动。

　　与此同时，另一路脉冲被直接送到与I_RA相连的与门，使得I_RA从0变到1。在它的上升沿，寄存器RA将数据锁存。

　　装载3.因为是按键开关，当我们一撒手，K马上又松开了。按键松开的瞬间，它产生的是“0”经过非门后变成“1”。这个变化对于循环移位寄存器RR来说是个不折不扣的上升沿。于是，循环移位一次，t₀=0而t₁=1，下面电路状态中的所有输出都是0。

　　现在数据装载完毕，你有两个选择：第一，要是你觉得刚才装载的数据不对，想重新装载一次，可以直接再按一次K；第二，如果你准备开始做加法，干“相加”的活，就断开K_装载，合上K_相加。

 　　相加1.我们再用那排开关准备好第二个要相加的数，并断开K_装载，合上K_相加。

 　　相加2.现在按下K执行第一个动作，和前面一样，先是I_TR‘和K来的上升沿脉冲一起，使得I_TR从0翻转到1，临时寄存器TR锁存相加的结果。

 　　相加3.当K松开时，RR再次循环移动一次，t₀=0、t₁=1，I_GB状态打开。

 　　相加4.现在相加的结果已经来到了寄存器RA的眼皮底下，只要再按一下K，使得IRA和从K来的上升沿脉冲一起，把IRA从0翻转到1即可。在这个上升沿，寄存器RA锁存相加结果。

　　松开K时，循环移位寄存器从非门哪里得到一个从0到1的上升沿脉冲，故在此循环移位，使得t₀=1、t₁=0，于是整个电路又回到了“相加”过程的最开始。

 　　这意味着，要做一连串的加法，除了最开始要将第一个数装载到寄存器RA之外，其他都是单纯的相加。所以，这意味着，从现在开始，你可以按照“用开关扳数——按两次K——用开关扳数——按两次K——......”这样的模式将所有的数都加完，最终的结果就在寄存器RA中。

　　经常的，我们听别人说每台计算机里都有一个控制器，它可以使整个计算器按照规定的步骤有条不紊地计算。事实上，我们现在讲的这个电路就是一个控制器。