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值得一做》关于数学与递推 BZOJ1002 （BZOJ第一页计划）（normal+）
什么都不说先甩题目
Description
轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示
.png)
N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示
.png)
Input
第一行有1个正整数n
Output
计算出的不同的n轮状病毒数输出
Sample Input
Sample Output
这道题其实思路应该是生成树计数问题，但是很明显的，本题给出的数据范围对于一般使用的Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)来说数据范围有点大，所以在这里Matrix-Tree只作为暴力算法，正解得出的方法是用奇怪的递推式。
首先来讲讲Matrix-tree，具体方法是这样：
一，首先得出一个点的度的矩阵A，定义为：对于当前矩阵A[i][j]来说，只有在当前i=j的情况下，A[i][j]为第i个点的度数，其他点为0；
二，得出一个关于边的矩阵B，定义为：对于当前的矩阵B[i][j]来说，当i与j相连的情况下，B[i][j]为1，其他点为0；
最后得出一个最终矩阵C，对于C的定义为：C[i][j]=A[i][j] - B[i][j]；
我们在最后的计算前要对矩阵C做一件玄学的事情：以一个对角线数字作为关键点，消掉该关键带点所在横行于纵行所有点（包括自己），把剩下的点再拼成矩阵C（事关玄学）；
接下来就很简单了，把新矩阵C当做一组线性方程，然后用高斯消元对C来求解（只需要把由对角线切开的任意一个数字三角上的数全消为0即可），然后把对角线上的数字全部相乘，得出解；
贴出以这种方法写的n<20的暴力
1 #include<stdio.h> 2 double mp[110][110]; 3 int n; 4 int main() 5 { 6 scanf("%d",&n); 7 if(n==1){printf("1");return 0;}//来组特判 8 if(n==2){printf("5");return 0;} 9 mp[1][1]=3,mp[1][n]=-1,mp[1][2]=-1,mp[n][n]=3,mp[n][1]=-1,mp[n][n-1]=-1;10 for(int i=2;i<n;i++)mp[i][i-1]=mp[i][i+1]=-1,mp[i][i]=3;//以下是建立矩阵的过程 11 for(int i=2;i<=n;++i)//对于这道题，把中间的点看做要消掉的点，建矩阵方法因人而异 12 {13 for(int j=1;j<i;++j)14 {15 double shit=(-mp[i][j])/mp[j][j];16 for(int k=j;k<=n;++k)17 mp[i][k]+=mp[j][k]*shit;18 }19 }20 double ans=1;21 for(int i=1;i<=n;i++)22 ans*=mp[i][i];23 printf("%d",(int)(ans+0.5));//四舍五入 24 return 0;25 }
但是这样并不能A，所以我们要想一种更优的解，
根据对打表数据的判断，可以得出g[i]=3*g[i-1]-g[i-2]+2的神奇结论；
这个公式好像要依靠对于数论的理解来分析（对于新加入的点对于全图的关系），得出递推式。
贴出正解代码
1 #include<stdio.h> 2 struct shit{ 3 int a[1000],len; 4 }g[110]; 5 int n; 6 shit c(shit x,int y) 7 { 8 for(int i=1;i<=x.len;i++)x.a[i]*=y; 9 for(int i=1;i<=x.len;i++)10 {11 x.a[i+1]+=x.a[i]/10;12 x.a[i]%=10;13 }14 if(x.a[x.len+1])x.len++;15 return x;16 }17 shit j(shit x,shit y)18 {19 x.a[1]+=2;20 int s=x.len;21 shit z;22 for(int i=1;i<=x.len;i++)23 {24 if(x.a[i]<y.a[i])x.a[i+1]--,x.a[i]+=10;25 x.a[i]=x.a[i]-y.a[i];26 }27 while(x.a[x.len]==0)x.len--;28 return x;29 }30 int main()31 {32 scanf("%d",&n);33 g[1].a[1]=1,g[1].len=1;34 g[2].a[1]=5,g[2].len=1;35 for(int i=3;i<=n;++i)36 g[i]=j(c(g[i-1],3),g[i-2]);37 for(int i=g[n].len;i>=1;i--)printf("%d",g[n].a[i]);38 return 0;39 40 }
另外还有一种思路提供参考
【规律】这里是1--15的打表情况：1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 15125 39601 103680 271441 710645 1860496。很快先发现一个规律：第1、3、5、7位是平方数，2、4、6、8位除以5后也是平方数。
然后再整理：1*1 5*1*1 4*4 5*3*3 11*11 5*8*8 29*29 5*21*21 76*76 5*55*55 199*199 5*144*144 521*521。看着奇数位1,3,8,21,55。。。。。。灵光一现：这不是斐波那契的一半吗：1,2,3,5,8,13,21,24,55.。。。。。另外一个也能表示成类似的相加的数列：
奇数位：1 3 4 7 11 18 29 76
偶数位：1 2 3 5 8 13 21 34 55
主要结论来自于：http://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/22645557
然后贴出以这种方式A的神犇的代码
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 using namespace std; 4 const int size=51; //这里的位数卡着n=100的情况，为了加速。 5 struct arr{int num,p[size];}a,b,c; 6 int i,n,j; 7 arr add(arr a,arr b) 8 { 9 arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));10 c.num=a.num>b.num?a.num:b.num;11 for (int i=1;i<=c.num;i++)12 c.p[i]=a.p[i]+b.p[i];13 for (int i=1;i<=c.num;i++)14 c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;15 if (c.p[c.num+1]) c.num++;16 return c;17 }18 arr chen(arr a,arr b)19 {20 arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));21 for (int i=1;i<=a.num;i++)22 for (int j=1;j<=b.num;j++)23 c.p[i+j-1]+=a.p[i]*b.p[j];24 c.num=a.num+b.num-1;25 for (int i=1;i<=c.num;i++)26 c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;27 while (c.p[c.num+1])28 {29 c.num++;c.p[c.num+1]+=c.p[c.num]/10;c.p[c.num]%=10;30 }31 return c;32 }33 int main()34 {35 scanf("%d",&n);36 switch (n) 37 {38 case 0:{printf("0");return 0;}39 case 1:{printf("1");return 0;}40 case 2:{printf("5");return 0;}41 }42 if (n%2==0)43 {44 a.p[1]=1;b.p[1]=2;a.num=1;b.num=1;45 for (i=4;i<=n;i++)46 {47 c=add(a,b);48 a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];49 b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];50 }51 c=chen(c,c);52 memset(a.p,0,sizeof(a.p));a.p[1]=5;a.num=1;c=chen(c,a);53 for (i=c.num;i>0;i--)54 printf("%d",c.p[i]);55 }56 else57 {58 a.p[1]=1;b.p[1]=3;a.num=1;b.num=1;59 for (i=3;i<=n;i++)60 {61 c=add(a,b);62 a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];63 b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];64 }65 c=chen(c,c);66 for (i=c.num;i>0;i--)67 printf("%d",c.p[i]);68 }69 return 0;70 }
值得一做》关于数学与递推 BZOJ1002 （BZOJ第一页计划）（normal+）