快速幂！

模板如下：

 1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<cstdio>  4  5 using namespace std; 6  7 int b,p,k; 8  9 int fastpow(int a,int b)10 {11     int r=1;12     int base=a;13     while(b!=0)14     {15         if(b%2!=0)//奇次幂 16         r=r*base;17         base=base*base;18         b=b/2;19     }20     return r;21 }22 23 int mod_exp(int a, int b, int c)        //快速幂取余a^b%c24 {25     int res,t;26     res=1%c; 27     t=a%c;28     while(b)29     {30         if(b&1)31         {32             res=res*t%c;33         }34         t=t*t%c;35         b>>=1;//就等价于b/2(位运算) 36     }37     return res;38 }39 40 int f(int p)41 {42     if(p==0) return 1;43     int tmp=f(p/2)%k;44     tmp=(tmp*tmp)%k;45     if(p&1) tmp=(tmp*b)%k;46     return tmp;47 }48 49 int main()50 {51     scanf("%d%d%d",&b,&p,&k);52     int tmpb=b;53     b%=k;//防止b太大 54       /* start 快速幂求得b^p */55     printf("%d\n",fastpow(b,p));56       /* end 快速幂求得b^p */57 58       /* start 快速幂求得b^p%k */59     printf("%d^%d mod %d=%d\n",tmpb,p,k,mod_exp(b,p,k));60           /* 方法一 end */61 62     printf("%d^%d mod %d=%d\n",tmpb,p,k,f(p));63           /* 方法二 end */64       /* end 快速幂求得b^p%k */65     return 0;66 }

快速幂取模算法x

转载x

作者在后面x

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

先从简单的例子入手：求= 几。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

.这个公式在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便阅读，还是给出证明：

引理1：

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余

}

ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，就不证明啦。

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

1.如果b是偶数，我们可以记k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = a2 mod c，那么求

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

if(b % 2 == 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return ans;

}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考x：

扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

那么，实际上，.

所以

要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的。

希望本文有助于掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。

再次强调，文转x

By  夜せ︱深

应该是这个作者……

快速幂 x