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UVA 10253 - Series-Parallel Networks（数论+计数问题+递推）

2024-07-04 00:29:43   224人阅读

题目链接：10253 - Series-Parallel Networks

白书的例题。
这题也是需要把问题进行转化，一个并联可以分为几个串联，然后串联可以分成边。
如此一来，最后叶子结点种数会是n，问题转化为去分配叶子结点，使得总和为n。
书上有两种方法，一种直接去递归，利用组合数学的方式去计算答案。
一种是推出递推式：
设dp[i][j]为一共j个叶子结点的树，子树的叶子最多的为i个的情况。然后对于一颗树，枚举恰好包含i个叶子的子树为p棵，那么相当于从f[i]颗树中选出p棵树的方案数，是可重复选择的组合，组合数为：C(f[i] + p - 1, p)种，然后每种子树对应的情况数为dp[i - 1][j - p * i]
所以状态转移方程为dp[i][j] = sum{C(f[i] + p - 1, p) * d(i - 1, j - p * i)}，最后答案为dp[n - 1][n],注意边界的设定，详见代码
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long C(long long n, long long m) {
    double ans = 1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        ans *= n - i;
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
    	ans /= i + 1;
    return (long long)(ans + 0.5);
}

const int N = 31;
int n;
long long f[N];
long long dp[N][N];

int main() {
	f[1] = 1;
    for (int i = 0; i < N; i++) dp[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i][1] = 1; dp[0][i] = 0;}
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 2; j < N; j++) {
            dp[i][j] = 0;
            for (int p = 0; p * i <= j; p++) {
            	dp[i][j] += C(f[i] + p - 1, p) * dp[i - 1][j - p * i];
            }
        }
        f[i + 1] = dp[i][i + 1];
    }
    while (~scanf("%d", &n) && n) {
    	printf("%lld\n", n == 1 ? 1 : 2 * f[n]);
    }
    system("pause");
    return 0;
}


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