“多源最短路径”——计算任意两个城市之间的最短路径。

上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路径，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题称为“多源最短路径”问题。

用4*4的矩阵存储图的信息，二维数组e存储。

之前通过dfs和bfs可以求出两点之间的最短路径。所以进行n^2遍深度或者广度优先搜索，即对每两个点都进行一次深度或者广度优先搜索，便可求的任意两点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法，核心代码实现非常简单，只有5行：

外面k循环是所有顶点都能中转。

基本思想：

最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转。。。。允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路径。概况：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路径。

输入数据：

运行结果：

Floyd-Warshall算法时间复杂度是O(N^3)
.
但是Floyd-Warshall算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”的图），因为带有“负权环”的图没有最短路径。


上图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径，因为1-2-3-1-2-3-.....1-2-3这样的路径中，每绕一次1-2-3这样的环，最短路径就会减少1，永远找不到最短路径。

最短路径（一）—Floyd-Warshall（只有五行的算法）