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(hdu step 2.1.6)找新朋友(欧拉函数的简单使用:求与n互质的元素的个数)

2024-11-23 20:21:02   203人阅读

题目：

       

找新朋友

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2788 Accepted Submission(s): 1307
 
Problem Description
新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。
 
Input
第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。
 
Output
对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。
 
Sample Input
2
25608
24027
 
Sample Output
7680
16016
 
Author
SmallBeer(CML)
 
Source
杭电ACM集训队训练赛（VII）
 
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题目分析：

              本题如果是单纯的暴力(就是用两个for循环求出数据规模里面从1~i中与i互质的元素的个数)，超时超的很厉害(n本身就大，而且还用到了>O(n^2)的暴力算法)。这道题实际上是“求出从1~n中与n互质的元素的个数”的问题。这宗问题在数论中有专门的知识来解决——欧拉函数。


以下介绍一下这道题用到的基本知识：

 1）积性函数：满足f(ab) = f(a)*f(b)的函数就积性函数，其中a与b是互质的任意两个数。若a，b为任意两个整数，则此时的f成为完全积性函数。对于积性函数，f(1)=1  。

若n为素数(质数)，f(n) = n-1;

若n为合数,f(n) < n-1;



代码如下：


/*
 * f1.cpp
 *
 *  Created on: 2015年1月31日
 *      Author: Administrator
 */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>



const int maxn = 32770;

bool u[maxn];
int su[maxn];
int f[maxn];

/**
 * 欧拉函数:
 * 用于求解：
 * 求出从1~n中与n互质的元素的个数
 */
void oula(){
	memset(u,true,sizeof(u));
	f[1] = 1;

	int i;
	int j;
	int num = 1;
	for(i = 2 ; i < maxn ; ++i){
		if(u[i] == true){
			su[num++] = i;
			f[i] = i-1;
		}

		for(j = 1 ; j < num ; ++j){
			if(i*su[j] > maxn){
				break;
			}

			u[i*su[j]] = false;

			if(i%su[j]){
				f[i*su[j]] = f[i] * (su[j]-1);
			}else{
				f[i*su[j]] = f[i] * su[j];
				break;
			}
		}
	}
}

int main(){
	oula();

	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",f[n]);
	}

	return 0;
}





  



(hdu step 2.1.6)找新朋友(欧拉函数的简单使用:求与n互质的元素的个数)


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