${\Large 1.}$(来自丘维声『高等代数』(上)$P_{189,194}$)

$(1).$ 设$A,B$分别是数域${\mathbb F}$上$n\times n,m\times n$矩阵.

证明: 如果$I_n-AB$可逆, 那么$I_m-BA$也可逆; 并求出$(I_m-BA)^{-1}$.

$(2).$ 设$A,B,D$都是数域${\mathbb F}$上$n$级矩阵, 其中$A,D$可逆, 且$B^TA^{-1}B+D^{-1}$也可逆. 证明:

$$(A+BDB^T)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(B^TA^{-1}B+D^{-1})^{-1}B^TA^{-1}$$

${\bf 解:}$ $(1).$设法找到$m$级矩阵$X,\ s.t.\ (I_m-BA)(I_m+X)=I_m\ \Rightarrow\ -BA+X-BAX=0\ \Rightarrow X-BAX=BA$.

令$X=BYA$, 其中$Y$是待定的$n$级矩阵. 代入上式, 得

$$BYA-BABYA=BA\ \ 即\ \ B(Y-ABY)A=BA$$

如果能找到$Y\ s.t.\ Y-ABY=I_n$, 那么上式成立. 由于$Y-ABY=I_n\ \Leftrightarrow \ (I_n-AB)Y=I_n$,而已知条件$I_n-AB$可逆, 故

$Y=(I_n-AB)^{-1}$. 由此受到启发, 有

\begin{align*}&(I_m-BA)[I_m+B(I_n-AB)^{-1}A]\\ =&I_m+B(I_n-AB)^{-1}A-BA-BAB(I_n-AB)^{-1}A\\
=&I_m-BA+B[(I_n-AB)^{-1}-AB(I_n-AB)^{-1}]A\\ =&I_m-BA+B[(I_n-AB)AB(I_n-AB)^{-1}]A\\
=&I_m-BA+BI_nA\\ =&I_m\end{align*}因此$I_m-BA$可逆, 并且

$$(I_m-BA)^{-1}=I_m+B(I_n-AB)^{-1}A.$$

$(2).$ 事实上,

\[{(A + BD{B^T})^{ - 1}} = {[A(I + {A^{ - 1}}BD{B^T})]^{ - 1}} = {(I + {A^{ - 1}}BD{B^T})^{ - 1}}{A^{ - 1}} = {[I - ({A^{ - 1}}BD)( - {B^T})]^{ - 1}}{A^{ - 1}}\]

套用$(1).$的结论可得

\begin{align*}{(A + BD{B^T})^{ - 1}}=&{[I - ({A^{ - 1}}BD)( - {B^T})]^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ ^{(1).}= &{[I + ({A^{ - 1}}BD){(I - ( - {B^T})({A^{ - 1}}BD))^{ - 1}}( - {B^T})]^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ =& {[I - ({A^{ - 1}}B){({D^{ - 1}})^{ - 1}}{(I + {B^T}{A^{ - 1}}BD)^{ - 1}}{B^T}]^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ =& {[I - {A^{ - 1}}B{[(I + {B^T}{A^{ - 1}}BD){D^{ - 1}}]^{ - 1}}{B^T}]^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ =&A^{-1}-A^{-1}B(B^TA^{-1}B+D^{-1})^{-1}B^TA^{-1}\end{align*}

LA 小、杂、乱题合辑