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LeetCode --- 4. Median of Two Sorted Arrays

2024-11-19 15:17:39   203人阅读

题目链接：Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

这道题的要求是在两个有序数组中找到中位数（两个数组合并之后的中位数）。

直接思路，从前往后合并数组，直到第(m+n)/2+1个元素为止。不过时间复杂度是线性的（O(n)），不满足要求的O(log(m+n))。

将问题转化一下，转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2+1小的数或者是第(m+n)/2和第(m+n)/2+1小的数的均值。

首先假设k为偶数并且数组A和B的元素个数都大于k/2，比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：=和<、>：

  • 当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，则已经找到了第k小的数，即这个相等的元素。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于这个数，所以这个数就是第k小的数。

  • 当A[k/2-1]<B[k/2-1]时，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以可以将其舍弃。

  • 当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

实际上，由于k可能为奇数，而且数组A中元素个数可能小于k/2，则可以采用先求k/2与m的小的数值，然后用k减去这个数获得另一个数。

通过上面的分析，可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外还需要考虑几个边界条件：

  • 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

  • 如果k为1，则只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

  • 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，则返回其中任意一个。

时间复杂度：O(log(m+n))

空间复杂度：O(log(m+n))

 1 class Solution
 2 {
 3 public:
 4     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
 5     {
 6         int k = m + n;
 7         if(k % 2 == 1)
 8             return findKth(A, m, B, n, k / 2 + 1);
 9         else
10             return (findKth(A, m, B, n, k / 2) + findKth(A, m, B, n, k / 2 + 1)) / 2.0;
11     }
12 private:
13     int findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
14     {
15         if(m > n) // 保证a长度小于等于b长度，即m <= n
16             return findKth(b, n, a, m, k);
17         
18         if(m == 0)
19             return b[k - 1];
20         
21         if(k == 1)
22             return min(a[0], b[0]);
23         
24         int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
25         if(a[pa - 1] == b[pb - 1])
26             return a[pa - 1];
27         else if(a[pa - 1] < b[pb - 1])
28             return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
29         else
30             return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
31     }
32 };

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