Given n items with size Ai, an integer m denotes the size of a backpack. How full you can fill this backpack?

Example

If we have 4 items with size [2, 3, 5, 7], the backpack size is 11, we can select [2, 3, 5], so that the max size we can fill this backpack is 10. If the backpack size is 12. we can select [2, 3, 7] so that we can fulfill the backpack.

解题思路：

一、申请一块辅助空间，dp[A.length][m+1]，dp[i][j]的含义是当只有A[0..i]的物品,且背包容量为j的时候，背包最多能够装多少。

辅助数组dp[i][j]的值的取值方案:（看不懂先看下面案例流程）

1、          容量j < A[i],也就是说背包中不能装A[i]物品，于是dp[i][j] = dp[i-1][j];

2、          容量j > A[i],现在背包中能够装下i物品，于是我们有两种选择方案：

a)       装入A[i]物品，于是我装入i物品以后的背包的容量就只有j-A[i]，于是剩下A[0…i-1]物品，以及j-A[i]的背包容量，于是dp[i][j]=A[i]+dp[j-A[i]];

b)       另一种方案就是我能装A[i],但是我不装进去。

于是dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-A[i]] + A[i])

二、上面的没有看懂没有关系，我们举个例子分析流程以后再回来看。

1、假设A={2,3,4,5},背包size=10，首先申请dp空间，并且选择A[0]物品

现在假设就只有物品A[0]，size = 2,当背包容量j为0和1的时候,背包容量j < A[0]，当背包容量 j > A[0],但是此时只有A[0]物品，所以最多只能装入A[0].

2、假设现在能够选择A[0]和A[1]物品

当背包容量j为0、1、2的时候，不能j< [i] 所以dp[i][j] = dp[i-1][j]，也就是不在背包中装入A[1]物品，那么现在背包中的只可能装入a[0]，所以dp[1][j]的状态和dp[0][j]一样。当背包容量 j > A[1],于是dp[i][j]就有两种选择，装入A[1]个不装入A[1],然后选择两种情况下的最大值：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-A[i]] + A[i])

3、          假设现在能够选择A[0]、A[1]、A[2]物品

4、假设现在能够选择A[0]、A[1]、A[2]、A[3]物品

总之更具上面的dp[i][j]的值的决策方案走就能够得出最终结果。

public class Solution {    /**     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack     * @param A: Given n items with size A[i]     * @return: The maximum size     */    public int backPack(int m, int[] A) {        if (m <= 0 || A == null || A.length == 0) {            return 0;        }        int len = A.length;        int[][] dp = new int[len][m + 1];        for (int i = 0; i <= m; i++) {            if (i >= A[0])                dp[0][i] = A[0];        }        for (int i = 1; i < len; i++) {            for (int j = 0; j <= m; j++) {                if (j >= A[i]) {                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - A[i]] + A[i]);                } else {                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];                }            }        }        return dp[len - 1][m];    }    public static void main(String[] args) {        int m = 10;        int[] arr = {3, 4, 8, 5};        int s = new Solution().backPack(m, arr);        System.out.println(s);    }}

题目二

Given n items with size Ai and value Vi, and a backpack with size m. What‘s the maximum value can you put into the backpack?

Example

public class Solution {    /**     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack     * @param A & V: Given n items with size A[i] and value V[i]     * @return: The maximum value     */   public int backPackII(int m, int[] A, int V[]) {        if (m <= 0 || A == null || A.length == 0 || V == null || V.length == 0) {            return 0;        }        int len = A.length;        int[][] dp = new int[len][m + 1];        for (int i = 0; i <= m; i++) {            if (i >= A[0])                dp[0][i] = V[0];        }        for (int i = 1; i < len; i++) {            for (int j = 0; j <= m; j++) {                if (j >= A[i]) {                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - A[i]] + V[i]);                } else {                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];                }            }        }        return dp[len - 1][m];    }}

LeetCode Backpack