Riemann zeta function (Ⅰ)

Daoyi Peng

December 12, 2012

• Euler 乘积公式

Riemann 的基本思想是将 Euler 乘积公式推广到复变量的情形. 为此他对所有实部 $\sigma>1$ 的复数 $s$ (设 $s=\sigma+\mathrm{i}\tau$),定义

\begin{equation}
  \zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-p^{-s})^{-1}.
\end{equation}

左边级数绝对收敛, 因此它的和函数 $\zeta(s)$ 在半平面 $\sigma>1$ 上解析. 右边的无穷乘积也同样绝对收敛.

\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}
\end{equation}
其中 $\mathbb{P}$ 表示素数集合, 无穷乘积取遍了所有素数.

proof   由于 $P\geqslant 2,$ 故而对 $s>1$ 有:
\begin{equation}
  \frac{1}{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots.
\end{equation}
取 $p=2,3,\cdots,P,$ 并将这级数乘在一起, 所得到的一般项就有形式
\[2^{-a_2s}3^{-a_3s}\cdots P^{-a_Ps}=n^{-s},\]
其中
\[n=2^{a_2}3^{a_3}\cdots P^{a_P}\quad (a_2\geqslant0,a_3\geqslant0,\cdots,a_P\geqslant0)\]
当且仅当 $n$ 没有大于 $P$ 的素因子时, 则由算术基本定理可得, 这样的数 $n$ 就会在此乘积中仅出现一次. 从而有
\[\prod_{p\leqslant P}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{P}n^{-s},\]
右边的求和取遍素因子不超过 $P$ 的所有正整数.

这些数包括所有不超过 $P$ 的数, 所以 $0<\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-s}-\sum\limits_{(P)}n^{-s}<\sum\limits_{P+1}^{\infty}n^{-s}.$ 而最后的和当 $P\to\infty$ 时趋向于 $0$. 于是 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\lim\limits_{P\to\infty}\sum\limits_{(P)}n^{-s}=\lim\limits_{P\to\infty}\prod\limits_
{p\leqslant P}\frac{1}{1-p^{-s}}.$

• 解析延拓与函数方程

首先我们将 $\zeta(s)$ 的定义延拓到半平面 $\sigma>0$ 上. 为此, 只需作一个非常简单的处理就足够了. 当 $\sigma>1$ 时, 我们有
\begin{align*}
 \zeta(s) & =\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\sum_{n=1}^{\infty}s\int_{n}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{s+1}}=s\int_{1}^{\infty}
 \Big(\sum_{n\leqslant t}1\Big)\frac{\mathrm{d}t}{t^{s+1}}  \\
 & =s\int_{1}^{\infty}\frac{[t]}{t^{s+1}}\mathrm{d}t=\frac{s}{s-1}-s\int_{1}^{\infty}\frac{\{t\}}{t^{s+1}}\mathrm{d}t,
\end{align*}
其中 $[t]$ 表示实数 $t$ 的整数部分, 而 $\{t\}$ 表示这一实数的小数部分. 且 $\{t\}\in[0,1)$, 所以当 $\sigma>0$ 时最后一个积分收敛. 因此右式定义了 $\zeta(s)$ 在去掉点 $s=1$ 后的半平面 $\sigma>0$ 上的一个延拓.

下面我们讨论 $\zeta(s)$ 被延拓为整个复平面上的亚纯函数, 除在 $s=1$ 有一阶极点外全纯.
作为准备先叙述 $\Gamma$ 函数 (gamma function) $\Gamma(s)$. 对于满足 $\Re(s)>0$ 的复数 $s$, 定义
\begin{equation}\label{eq:2.1}
\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^s\frac{\mathrm{d}t}{t}.
\end{equation}
如果 $s$ 为自然数, 则成立 $\Gamma(s)=(s-1)!$. 另外, $\Gamma(s)$ 亚纯地延拓到整个复平面, 其延拓仍记为 $\Gamma(s).$ 这时 $\Gamma(s)$ 除在 $s=0,-1,-2,-3,\cdots$ 具有一阶极点外为全纯, 并且不具有零点. 再者, 对于整数 $m\geqslant0,$ 有
\begin{equation}\label{eq:2.2}
\lim_{s\to-m}(s+m)\Gamma(s)=(-1)^m\frac{1}{m!}.
\end{equation}

当 $\Re(s)>1$ 时, 我们有
\begin{align*}
 \Gamma(s)\zeta(s) & =\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^s\frac{\mathrm{d}t}{t}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}  \\
    & =\int_{0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}\left(\frac{t}{n}\right)^s\frac{\mathrm{d}t}{t}  \\
    & =\int_{0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-nx}x^s\frac{\mathrm{d}x}{x} \quad\text{(令 $x=\frac{t}{n}$)} \\
    & =\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}x^s\frac{\mathrm{d}x}{x}  \\
    & =\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x.
\end{align*}
下面引入 Bernoulli 数 $B_n(n=0,1,2,3,\cdots)$ 为
\begin{equation}
\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n,\quad |x|<2\pi.
\end{equation}
故有

\begin{align}\label{eq:2.4}
\zeta(s)\Gamma(s) &=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x   \nonumber \\
     & =\int_{0}^{1}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}
     \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x  \nonumber\\
     & =\int_{0}^{1}x^{s-2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_nx^n}{n!}\right)\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}
     \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x  \nonumber\\
     & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\frac{1}{n+s-1}+\int_{1}^{\infty}
     \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x.
\end{align}
易知积分 $\int_{1}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x$ 收敛. $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\frac{1}{n+s-1}$ 为 $s$ 的有理函数, 且是整个复平面上的亚纯函数, 在一阶极点 $s=1,0,-1,-2,-3,\cdots$ 之外全纯. 这样我们将 $\zeta(s)$ 延拓到整个复平面, 除 $s=1$ 有一阶极点.

接下来证明 $\zeta(s)$ 满足的函数方程.
令
\begin{equation}\label{eq:2.5} \chi(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)
\end{equation}
则 $\chi(s)$ 除在 $s=0,1$ 为极点外, 在整个复平面为全纯函数, 并满足函数方程
\begin{equation}\label{eq:2.6}
 \chi(s)=\chi(1-s).
\end{equation}

proof   对于 $x>0$ 令
\begin{equation}
\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-\pi n^2x}.
\end{equation}
根据 $\Gamma$ 函数的定义
\[\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}x^{s-1}\,\mathrm{d}x \quad (\Re(s)>0),\]
知有
\[\chi(s)=\int_{0}^{\infty}\psi(x)x^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}x\]
将此积分在 $x=1$ 处分割开, 有
\[\chi(s)=\int_{0}^{1}\psi(x)x^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{\infty}\psi(x)x^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}x\]
将前一个积分作变量代换 $x\to \frac{1}{x}$, 得
\[\int_{0}^{1}\psi(x)x^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{\infty}\psi\Big(\frac{1}{x}\Big)x^{-\frac{s}{2}-1}
\,\mathrm{d}x\]
由等式
\begin{equation}\label{eq:2.8}
2\psi\Big(\frac{1}{x}\Big)+1=x^{\frac{1}{2}}(2\psi(x)+1),
\end{equation}
从而有
\begin{align*}
  \chi(s) &=\int_{0}^{1}\psi(x)(x^{\frac{s}{2}}+x^{\frac{1-s}{2}})\frac{\mathrm{d}x}{x}+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}
  (x^{\frac{1}{2}}-1)x^{-\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}x   \\
  &=\int_{1}^{\infty}\psi(x)(x^{\frac{s}{2}}+x^{\frac{1-s}{2}})\frac{\mathrm{d}x}{x}+\frac{1}{s(s-1)}.
\end{align*}
于是由此得到了证明.

这里需要对 \eqref{eq:2.6} 与等式 \eqref{eq:2.8} 作一些说明.

Poisson 求和公式: 若 $\mathbb{R}$ 上可积函数 $f$ 的 Fourier 变换被定义为
\[\hat{f}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i}xy}\,\mathrm{d}y,\]
当 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)$ 收敛且 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}f‘(n+x)$ 对 $x\in[0,1]$ 一致收敛时, 成立
\[\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n).\]
容易验证, 对于正参数 $u$ 的每个值, 函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\pi ux^2}$ 满足 Poisson 求和公式的条件. 又 $\hat{f}(x)=\mathrm{e}^{-\pi x^2/u}u^{-1/2}$. 因此有公式
\begin{equation}
\vartheta(u):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathrm{e}^{-\pi n^2u}
\end{equation}
所定义的函数 $\vartheta:(0,\infty)\to (0,\infty)$ 满足函数方程
\[\vartheta(1/u)=\sqrt{u}\vartheta(u) \quad (u>0)\]
这里 $\vartheta(u)$ 被称为 Jacobi theta 函数. 且 $\psi(u)=\frac{1}{2}(\vartheta(u)-1)$, 即得 \eqref{eq:2.8}.

进一步我们利用余元公式 (Euler 互补公式)
\[\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}\]
以及 Legendre 加倍公式
\[\Gamma(s)\Gamma\Big(s+\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{\pi}2^{1-2s}\Gamma(2s).\]
将函数方程 $(7)$ (或 \eqref{eq:2.5}) 改写为
\begin{equation}\label{eq:2.10}
\zeta(1-s)=\zeta(s)2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\cos\Big(\frac{\pi s}{2}\Big)
\end{equation}
或
\begin{equation}\label{eq:2.11}
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\Big(\frac{1}{2}\pi s\Big)\Gamma(1-s)\zeta(1-s) \quad (s\neq0,1).
\end{equation}
由上面的函数方程我们易得 $\zeta(s)$ 在点 $-2,-4,-6,\cdots$ 处为零, 这些零点被称为 $\zeta(s)$ 的平凡零点.

• $\zeta(s)$ 函数值与算术性质

由 Bernoulli 数的定义或者 Bernoulli 多项式
\[B_n(x)=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}B_ix^{n-i}\]
这里 $\binom{n}{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}$. 我们可知
\begin{align*}
  B_0 &=1,B_1=\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,  \\
  B_4 &=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},B_7=0,\cdots
\end{align*}
当 $n\geqslant3$ 的奇数时, $B_n=0$, 且 $n\geqslant2$ 时, $B_n(1)=B_n(0)=B_n.$
由 $(7)$ 我们易得, 对于整数 $n\geqslant0,$

\begin{equation}
\lim_{s\to 1-n}(s+n-1)(\Gamma(s)\zeta(s))=\frac{B_n}{n!}\cdot(-1)^n.
\end{equation}
令 $n=1$, 因 $\Gamma(1)=1$, 故
\begin{equation}
  \lim_{s\to1}(s-1)\zeta(s)=B_0=1.
\end{equation}
设 $n\geqslant1$, 则因 \eqref{eq:2.2} 知 $\lim\limits_{s\to1-n}(s+n-1)\Gamma(s)=(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{(n-1)!}$. 故证明了
\begin{equation}
  \zeta(1-n)=-\frac{B_n}{n},\quad n\geqslant1,n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
这样我们得
\begin{align}
&\zeta(0) =-\frac{1}{2},  \nonumber\\
&  \zeta(-2n) =0,\quad \zeta(-2n+1)=-\frac{B_{2n}}{2n},\quad n\in\mathbb{N}\backslash\{0\},\\
&   \zeta(-1)=-\frac{1}{12},\quad \zeta(-3)=\frac{1}{120},\quad \zeta(-5)=-\frac{1}{252},\cdots. \nonumber
\end{align}
结合函数方程 \eqref{eq:2.10} 我们得 Euler 公式.
\begin{equation}\label{eq:3.5}
\zeta(2n)=\frac{2^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}\pi^{2n}}{2(2n)!}.
\end{equation}

Lindemann (1882) 那个时代就知道 $\pi$ 是超越数. 特别地, 所有 $\zeta(2n)$ 是超越数. 对比之下, 直到 1979 年, 才由 Roger Apèry 证明了 $\zeta(3)$ 是无理数, 尽管人们付出了相当大的努力, 关于 $\zeta(s)$ 在其他奇整数 $s=2n+1\geqslant5$ 时的类似结果仍旧颇为欠缺. Tanguy Rivoal 于 2001 年证明了有无穷多个 $\zeta(2n+1)$ 是无理数. Wadim Zudilin 证明了 $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9)$ 和 $\zeta(11)$ 中至少有一个无理数. $\zeta(s)$ 的这些值仍在挑战者专家们的智慧.
在对 Riemann zeta 函数与素数分布之间的关系做进一步的研究之前, 我们先讨论下面几个结果.

当 $\sigma>1$ 时, 显然有
\[\zeta(s)^{-1}=\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-p^{-s}).\]
展开无穷乘积, 可得
\[\zeta(s)^{-1}=1-\sum_{p\in\mathbb{P}}p^{-s}+\sum_{p<q}(pq)^{-s}-\sum_{p<q<r}(pqr)^{-s}+\cdots,\]
其中 $p,q,r,\cdots$ 为素数. 因此只有那些不含平方因子的整数才出现在求和式中, 并对于这样的整数 $n, n^{-s}$ 的系数根据 $n$ 的素因子个数的奇偶性而取值 $\mp1$. 换句话说, 我们有
\begin{equation}
  \zeta(s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)n^{-s} \quad (\sigma>1),
\end{equation}
其中 $\mu(n)$ 为 Möbius 函数. 其定义如下:
\[\mu(n)=\begin{cases}(-1)^{\omega(n)} & \text{若 $n$ 没有大于 $1$ 的平方因子,} \\
0 & \text{在相反的情形.} \end{cases}\]
且 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的不同素因子的个数, 特别地, $\omega(1)=0$.

在 Euler 乘积公式两边取对数导数, 可得
\begin{equation}\label{eq:3.7}
-\frac{\zeta‘(s)}{\zeta(s)}=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{\log p}{p^{\nu s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s},
\end{equation}
其中 $\Lambda(n)$ 为 von Mangoldt 函数. 其定义如下:
\[\Lambda(n):=\begin{cases}\log p & \text{若 $\exists \nu\geqslant1$ 使得 $n=p^{\nu}$}, \\
 0 & \text{相反的情形}.\end{cases}\]

Riemann zeta function (Ⅰ)