题目如下:

已知

1) 对于数字1  可以表达为

 (1)

2) 对于数字2  可以表达为

 (1,1)   (2)

解释

1 + 1 = 2

3)  对于数字3  可以表达为

 (1,1,1)  (1, 2)  (2, 1)   (3)

1 + 1 + 1 = 3

1 + 2 = 3

2 + 1 = 3

求对于数字N  所有表达项

解法提示:

这是一道比较简单的动态规划问题

对于数字3如果我们把它的所有表达想这样书写

以1为开头的序列的后半部分的和是2

动态规划有两个要素，一个是备忘录，一个是递推公式

我们可以得到如下递推公式

注意：这里的加号和乘号不表示数学意义的加发和乘法

准确的说* 号表示连接，+ 号表示f(n) 的表达项是这些表达项的集合

f (n) = 1 *  f(n -1) + 2 * f(n -2) ... ... + (n-1) * f(0)

因此解法如下:

递归解法:

dd = {}
dd[0] = [[]]
dd[1] = [[1]]

def solve(n):
    if n in dd:
        return dd[n]
    else:
        res = []
        for i in range(1, n+1):
            ll = solve(n - i)
            #clone
            for item in ll:
                temp = list(item)
                temp.insert(0, i)
                res.append(temp)
        dd[n] = res

        return res

# ---- test ----
res = solve(2)
for item in res:
    print item

如果仔细思考，我们我们会发现 f(2) 依赖 f(1)，f(3) 依赖f(2) ...  f(n) 依赖f(n-1)

可以直接从f(1) , f(2) 一直算到f(n)  ， 这样就无需使用递归调用，则性能更好

def solve(n):
    dd = {}
    dd[0] = [[]]
    dd[1] = [[1]]

    for i in range(1, n + 1):
        seq = []
        for j in range(1, i + 1):
            temp = dd[i - j]
            for item in temp:
                s  = list(item)
                s.insert(0, j)
                seq.append(s)
        dd[i] = seq
    return dd[n]


# ---- test ----
res = solve(2)
for item in res:
    print item

print ‘----------------‘
res = solve(4)
for item in res:
    print item