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求Fibonacci数的三种方法和时间复杂度解析

2024-07-04 02:01:28   216人阅读

题目：
定义Fibonacci数列如下：  
f(0)=1
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2), n>=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

解答一：
直接用公式写递归函数。很简单，很低效，就不写了。时间复杂度T(N) = T(N-1) + T(N-2); 也是f(n)本身，2^(n/2)<f(n)<2^n。

解答二：
用循环求，也很直接，效率很高了，时间复杂度是O(n)。
int f(int n)
{
     if(n <= 1)
          return 1;
     int f0=1, f1=1;
     for(int i=2; i<=n; ++i)
     {
          int t=f0+f1;
          f0=f1;
          f1=t;
     }
     return f1;
}
  
解答三：
用矩阵求，时间复杂度O(log n)，效率是最高的。
Fibonacci数列递推公式可以使用矩阵表达：
[f(n),f(n+1)]=[f(n-1),f(n)] * =[f(0),f(1)] *=[1,1]*, n>=0
用G(n)表达该矩阵的n次方，规定G(0)为单位阵I。
那么
G(2n)=G(n)*G(n)
G(2n+1)=G(n)*G(n)*G(1)
写出递归函数【伪代码】，时间复杂度O(log n)：
Matrix2x2 g(int n)
{
     if(n<=0) return G(0);
     if(n==1) return G(1);
     Matrix2x2 t = f(n/2);
     return t*t*G(n%2);
}
矩阵运算还是比较麻烦，比较耗时的，仔细研究G(n)的结构，容易发现G(n)可以表示为如下形式：

这可以很容易地用数学归纳法证明。就不赘述了。
也就是说可以用两个整数(x,y)来表示G(n)。
f(n)=[1 1]*=x+y
这样可以重新实现该递归函数【C++代码】:
void g(int n, int& x, int& y)
{
                 if(n<=1)
                {
                                x = 0;
                                y = 1;
                }
                 else
                {
                                 int x1, y1;
                                g(n/2, x1, y1);
                                x = x1*x1+y1*y1;
                                y = (2*x1+y1)*y1;
                                 if(n % 2)
                                {
                                                 int t = x;
                                                x = y;
                                                y += t;
                                }
                }
}
  
int f2(int n)
{
                 int x, y;
                g(n, x, y);
                 return x+y;
}
 


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