What‘s the definition of longest increasing subsequence?

• The longest increasing subsequence problem is to find a subsequence of a given sequence in which the subsequence‘s elements are in sorted order, lowest to highest, and in which the subsequence is as long as possible. This subsequence is not necessarily contiguous, or unique.

解题思路：

经过将近四个小时的痛苦思考，最终还是无奈求助于答案。看来不看答案AC动态规划的问题还是需要一个过程的。真心羡慕饼王那样的大神（北大数学系的牛逼人士，数学功底真的杠杠的），言归正传，这一道题是求最大增序列，可以不连续，但是必须是递增。还是使用动态规划来解决这一问题：

1.划分子问题：

这一步骤基本算是考虑到了，例如一个长度为n的数列，可以划分为1->n的LIS，2->n的LIS，3->n的LIS。。。。n-1->n的LIS，但是这种解法存在问题，在于你在计算一个子问题的时候会出现多种增长序列，导致解不唯一。所以，划分子问题的时候应当将子序列的尾坐标依次从2到n，即1->2, 1->3, 1->4....1->n-1,1->n。之后再在每一个子问题中求出递增序列

2.初始状态的定义：

对于总的问题，可以定义一个max来作为存结果的变量

对于各个子问题，可以定义一个dp[]来对于先前每个子问题的结果进行记录（备忘录），并且在每个子问题开始前初始化为1，每种子问题最短也会有1.

3.子问题与递进问题的关系（递推公式）：

在每个子问题中最大的值可以设置为子序列的最后一个元素即nums[i],只要存在先前元素小于最后一个元素即nums[j]<nums[i],说明在j到i呈增长趋势，如果当前的最长长度若小于在j点的最长长度+1（在增长序列上再加上1），则该子问题的最长长度变为dp[j]+1.若大于的话说i与j之间存在下降趋势。

公式为：

k[i] = k[i] (k[i]<K[j]+1)

K[i] = K[j]+1 (k[i]>K[j]+1)

4 参考代码：

 1  public int longestIncreasingSubsequence(int[] nums) { 2         // write your code here 3         if(nums.length==0){ 4             return 0; 5         } 6         int[] dp = new int[nums.length]; 7         int max = 0; 8          9         for(int i = 0; i<nums.length; i++){10         dp[i] =1;11         for(int j = 0; j<i; j++){12             if(nums[j]<nums[i]){13                 dp[i]=dp[i]<dp[j]+1?dp[j]+1:dp[i];14             }15             16         }17          if(dp[i]>max){18                 max = dp[i];19             }   20             21         }22         return max;23     }