正则化（Regularization）
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-149">\ell_1</script>-norm和?2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-150">\ell_2</script>-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-151">\alpha||w||_1</script>即为L1正则化项。
下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||22<script type="math/tex" id="MathJax-Element-152">\alpha||w||_2^2</script>即为L2正则化项。
一般回归分析中回归w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-153">w</script>表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理。L1正则化和L2正则化的说明如下：
- L1正则化是指权值向量w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-154">w</script>中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-155">||w||_1</script>
- L2正则化是指权值向量w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-156">w</script>中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-157">||w||_2</script>
一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α<script type="math/tex" id="MathJax-Element-158">\alpha</script>表示，一些文章也用λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-159">\lambda</script>表示。这个系数需要用户指定。
那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。
- L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，因此可以用于特征选择
- L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合
稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1和L2正则化的直观理解
这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。
L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则化的损失函数：
J=J0+α∑w|w|(1)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-985">J = J_0 + \alpha \sum_w{|w|} \tag{1}</script>
其中
J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-986">J_0</script>是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，
α<script type="math/tex" id="MathJax-Element-987">\alpha</script>是正则化系数。注意到L1正则化是权值的
绝对值之和，
J<script type="math/tex" id="MathJax-Element-988">J</script>是带有绝对值符号的函数，因此
J<script type="math/tex" id="MathJax-Element-989">J</script>是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数
J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-990">J_0</script>后添加L1正则化项时，相当于对
J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-991">J_0</script>做了一个约束。令
L=α∑w|w|<script type="math/tex" id="MathJax-Element-992">L = \alpha \sum_w{|w|}</script>，则
J=J0+L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-993">J = J_0 + L</script>，此时我们的任务变成
在L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-994">L</script>约束下求出J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-995">J_0</script>取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值
w1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-996">w^1</script>和
w2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-997">w^2</script>，此时
L=|w1|+|w2|<script type="math/tex" id="MathJax-Element-998">L = |w^1|+|w^2|</script>对于梯度下降法，求解
J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-999">J_0</script>的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数
L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1000">L</script>也可以在
w1w2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1001">w^1w^2</script>的二维平面上画出来。如下图：
图1 L1正则化
图中等值线是J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1002">J_0</script>的等值线，黑色方形是L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1003">L</script>函数的图形。在图中，当J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1004">J_0</script>等值线与L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1005">L</script>首次相交的地方就是最优解。上图中J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1006">J_0</script>与L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1007">L</script>在L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1008">L</script>的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1009">(w^1, w^2) = (0, w)</script>。可以直观想象，因为L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1010">L</script>函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1011">J_0</script>与这些角接触的机率会远大于与L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1012">L</script>其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：
J=J0+α∑ww2(2)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1013">J = J_0 + \alpha \sum_w{w^2} \tag{2}</script>
同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：
图2 L2正则化
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1014">J_0</script>与L<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1015">L</script>相交时使得w1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1016">w^1</script>或w2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1017">w^2</script>等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？
以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1018">\theta</script>，hθ(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1019">h_\theta(x)</script>是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：
J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))?y(i))(3)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1020">J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \tag{3}</script>
那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数
θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1021">\theta</script>的迭代式为：
θj:=θj?α1m∑i=1m(hθ(x(i))?y(i))x(i)j(4)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1022">\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{4}</script>
其中
α<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1023">\alpha</script>是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
θj:=θj(1?αλm)?α1m∑i=1m(hθ(x(i))?y(i))x(i)j(5)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1024">\theta_j := \theta_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m}) - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{5}</script>
其中
λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1025">\lambda</script>就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，
θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1026">\theta_j</script>都要先乘以一个小于1的因子，从而使得
θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1027">\theta_j</script>不断减小，因此总得来看，
θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1028">\theta</script>是不断减小的。
正则化参数的选择
L1正则化参数
通常越大的λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1094">\lambda</script>可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。
假设有如下带L1正则化项的代价函数：
F(x)=f(x)+λ||x||1
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1095">F(x) = f(x) + \lambda ||x||_1</script>
其中
x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">x</script>是要估计的参数，相当于上文中提到的
w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1097">w</script>以及
θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1098">\theta</script>. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当
λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1099">\lambda</script>足够大时可以使得
F(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1100">F(x)</script>在
x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1101">x = 0</script>时取到最小值。如下图：
图3 L1正则化参数的选择
分别取λ=0.5<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">\lambda = 0.5</script>和λ=2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\lambda = 2</script>，可以看到越大的λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1104">\lambda</script>越容易使F(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1105">F(x)</script>在x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1106">x=0</script>时取到最小值。
L2正则化参数
从公式5可以看到，λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">\lambda</script>越大，θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-70">\theta_j</script>衰减得越快。另一个理解可以参考图2，λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-71">\lambda</script>越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。
Reference
过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html
正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html
正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657
正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
