首页 > 代码库 > NYOJ-571 整数划分(三)
NYOJ-571 整数划分(三)
此题是个非常经典的题目，这个题目包含了整数划分(一)和整数划分(二)的所有情形，而且还增加了其它的情形，主要是用递归或者说是递推式来解，只要找到了递推式剩下的任务就是找边界条件了，我觉得边界也是非常重要的一步，如果找不准边界，这个题也很难做出来，当时我就是找边界找了好长时间，边界得琢磨琢磨。递推步骤如下：
第一行:将n划分成若干正整数之和的划分数。
状态转移方程：dp[i][j]:和为i、最大数不超过j的拆分数
dp[i][j]可以分为两种情况：1、拆分项至少有一个j 2、拆分项一个j也没有
dp[i][j] = dp[i-j][[j] + dp[i][j-1]
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
dp[n-k][k]：相当于把k个1从n中拿出来，然后和n-k的拆分项相加的个数
第三行：将n划分成若干最大不超过k的正整数之和的划分数。
dp[n][k]
第四行：将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
dp1[i][j]是当前的划分数为i,最大值为j时的中的划分数，则状态转移方程为
if(i < j && j % 2 == 1)
dp1[i][j] = dp1[i][i]
if(i < j && j % 2 == 0) (最大数不可能为偶数)
dp1[i][j] = dp1[i][i-1]
划分数中有j时的划分为dp[i][j - 2]，因为它是奇数，所以要减2，
如果划分数中没有j的时候， 则它的数目可以写成dp1[i-j][j];意思就是i去掉j后，然后再划分最大为j的
即dp1[i][j] = dp1[i-j][j] + dp1[i][j-2]
第五行：将n划分成若干完全不同正整数之和的划分数。
dp2[i][j]可以分两种情况：1、dp1[i][j-1]为不选择j时的方案 2、dp1[i-j][j-1]为选择j时的方案
0-1背包：dp2[i][j] = dp2[i][j-1] + dp2[i-j][j-1]
方法一(递归法)：
1 #include <stdio.h> 2 //less_m(n, m)表示将n划分为最大是m的数 3 int less_m(int n, int m) 4 { 5 if(n == 1 || m == 1) 6 return 1; 7 if(n < m) 8 return less_m(n, n); 9 else if(n == m)10 return 1 + less_m(n, m - 1);11 else12 return less_m(n, m - 1) + less_m(n - m, m);13 }14 //count(n, m)表示将n划分为m个数 15 int count(int n, int m)16 {17 if(n < m)18 return 0;19 if(m == 1 || n == m)20 return 1;21 else22 return count(n - 1, m - 1) + count(n - m, m);23 }24 //odd(n, m)表示将n划分为最大数为m的奇数之和 25 int odd(int n, int m)26 {27 if(m == 1)28 return 1;29 if(n == 0 && m % 2 == 1)30 return 1;31 if(n == 0 && m == 0)32 return 1;33 if(n < m)34 {35 if(n % 2 == 0)36 return odd(n, n - 1);37 else38 return odd(n, n);39 }40 else41 {42 return odd(n - m, m) + odd(n, m - 2);43 }44 45 }46 //not_duplicate(n, m)是将n划分为最大为m的数， 并且没有重复的 47 int not_duplicate(int n, int m)48 {49 if(m == 0)50 return 0;51 if(n == 1 || n == 0)52 return 1;53 if(n < m)54 return not_duplicate(n, n);55 else56 return not_duplicate(n, m - 1) + not_duplicate(n - m, m - 1);57 }58 59 int main()60 {61 int n, k;62 while(~scanf("%d %d", &n, &k))63 {64 printf("%d\n", less_m(n, n));65 printf("%d\n", count(n, k));66 printf("%d\n", less_m(n, k));67 if(n % 2 == 1)68 printf("%d\n", odd(n, n));69 else70 printf("%d\n", odd(n, n - 1));71 printf("%d\n\n", not_duplicate(n, n));72 }73 74 return 0;75 }
方法二(递推法dp):
1 #include <stdio.h> 2 const int MAX = 52; 3 int dp[MAX][MAX], dp1[MAX][MAX], dp2[MAX][MAX]; 4 void divide() 5 { 6 dp[0][0] = 1; 7 for(int i = 0; i < MAX; i++) 8 { 9 for(int j = 1; j < MAX; j++)10 {11 if(i < j)12 dp[i][j] = dp[i][i];13 else14 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];15 }16 }17 }18 //这是划分奇数的函数 19 void divide1()20 {21 for(int i = 1; i < MAX; i++)22 dp1[i][1] = 1;23 for(int i = 1; i < MAX; i += 2)24 dp1[0][i] = 1;25 dp1[0][0] = 1;26 for(int i = 1; i < MAX; i++)27 {28 for(int j = 3; j < MAX; j += 2)29 {30 if(i < j)31 {32 if(i % 2 == 1)33 dp1[i][j] = dp1[i][i];34 else35 dp1[i][j] = dp1[i][i - 1];36 }37 else38 dp1[i][j] = dp1[i][j - 2] + dp1[i - j][j];39 }40 }41 }42 //划分没有重复数字的函数 43 void divide2()44 {45 for(int i = 1; i < MAX; i++)46 dp2[0][i] = dp2[1][i] = 1;47 for(int i = 2; i < MAX; i++)48 {49 for(int j = 1; j < MAX; j++)50 {51 if(i < j)52 dp2[i][j] = dp2[i][i];53 else54 dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];55 }56 }57 }58 59 int main()60 {61 int n, k;62 divide();63 divide1();64 divide2();65 while(~scanf("%d %d", &n, &k))66 {67 printf("%d\n", dp[n][n]);68 printf("%d\n", dp[n - k][k]);69 printf("%d\n", dp[n][k]);70 //先要判断要划分的数是否是奇数 71 printf("%d\n", (n & 1) ? dp1[n][n] : dp1[n][n - 1]);72 printf("%d\n\n", dp2[n][n]);73 }74 75 }
NYOJ-571 整数划分(三)