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线性结构
线性表及其实现
[引例]:多项式的表示
一元多项式:f(x)=a0+a1X+...+an-1Xn-1+anXn
主要运算:多项式的相加、相减、相乘等。
[分析]如何表示多项式?
多项式的关键数据:
- 多项式的项数n
- 各项系数ai及指数i
方法1:顺序存储结构直接表示
数组各分量对应多项式的各项:
a[i]:项Xi的系数ai,i是对应的指数
例如:f(x)=4x5-3x2+1,表示成:
0 1 2 3 4 5 ...... 下标i
1 | 0 | -3 | 0 | 0 | 4 | ...... |
a[i]
1 -3x2 4x5
以这样的形式表示后,两个多项式进行相加时,直接用两个数组对应分量相加即可。
用这个方法有一个问题,比如,如何表示多项式x+3x2000?
显然,至少要用2001个长度的数组,但其本身只有两项在起作用,不仅造成的空间极大浪费,而且运算过程中要进行循环,含有很多0项,比较繁琐。
方法2:顺序存储结构表示非零项
每个非零项aixi涉及两个信息:系数ai和指数i
可以将一个多项式看成是一个系数和指数(ai,i)的二元组的集合
用结构数组表示:数组分量是由系数ai、指数i组成的结构,对应一个非零项
例如:P1(x)=9x12+15x8+3x2和P2(x)=26x19-4x8-13x6+82
用这种方式来表示,只需要表示非零项即可。为了计算方便,需要按指数大小有序存储。
相加过程:从头开始比较两个多项式当前对应项的指数
P1:(9,12),(15,8),(3,2)
P2:(26,19),(-4,8),(-13,6),(82,0)
先看两个多项式的第一项(9,12)和(26,19),由于指数19比12大,那么就将(26,19)输出,
然后将(9,12)与P2的第二项(-4,8)进行比较,由于12比8大,所以将(9,12)输出,
然后将(-4,8)与P1的第二项(15,8)进行比较,此时两者指数相同,则将系数相加得到(11,8)输出,
以此类推,当其中一个多项式结束之后,另一个多项式未完成的项直接输出即可。
===>P3:(26,19),(9,12),(11,8),(-13,6),(3,2),(82,0)
即P3(x)=26x19+9x12+11x8-13x6+3x2+82
方法3:链表结构存储非零项
链表中每个结点存储多项式中的一个非零项,包括系数和指数两个数据域以及一个指针域
coef | expon | link |
typedef struct PolyNode *Polynomial; struct PolyNode{ int coef;//系数 int expon;//指数 Polynomial link;//指针域 }
//定义一个结构体
上述的例子中,两个多项式的链表存储形式可以表示为:
它的加法运算过程和方法2的过程是一样的
什么是线性表?
由前面关于多项式的引例可以得到如下启示:
- 同一个问题可以有不同的表示(存储)方法
- 有一类共性问题:有序线性序列的组织和管理
“线性表[Linear List]”:由同类型数据元素构成有序序列的线性结构
- 表中元素个数称为线性表的长度
- 线性表没有元素时,称为空表
- 表起始位置称表头,表结束位置称为表尾
线性表的抽象数据类型描述
- 类型名称:线性表(List)
- 数据对象集:线性表是n(≥0)个元素构成的有序序列(a1,a2,...,an)
- 操作集:线性表L€List,整数i表示位置,元素X€ElementType
线性表基本操作主要有:
- List MakeEmpty():初始化一个空线性表L;
- ElementType FindKth(int K,List L):根据位序K,返回相应元素;
- int Find(ElementType X,List L):在线性表L中查找X的第一次出现的位置
- void Insert(ElementType X,int i,List L):在位序前插入一个新元素X;
- void Delete(int i,List L):删除指定位序i的元素;
- int Length(List L):返回线性表L的长度n。
线性表的顺序存储实现:利用数组连续存储空间顺序存放线性表的各元素
typedef struct LNode *List; struct LNode{ ElementType Data[MAXSIZE]; int Last;//代表线性表的最后一个元素 }; struct LNode L; List PtrL;//PtrL为线性表结构的指针
访问下标为i的元素:L.Data[i]或Ptrl->Data[i]
线性表的长度:L.Last+1或Ptrl->Last+1
主要操作的实现:
1.初始化(建立空的顺序表)
List MakeEmpty(){ List PtrL; PtrL = (List)malloc(sizeof(struct LNode));//申请一个结构 PtrL->Last=-1;//Last表示链表的最后一个元素,当last为0时,表示含有一个元素,没有元素就赋值为-1 return PtrL; //返回结构的指针 }
2.查找
int Find(ElementType X,List PtrL){ int i=0; while(i<=PtrL->Last && PtrL->Data[i]!=X){ i++; } if(i>PtrL->Last) return -1;//如果没有找到,返回-1 else return i;//找到后返回的是存储位置 }
查找成功的平均次数是(n+1)/2,平均时间性能为O(n)。
3.插入(第i(1≤i≤n+1)个位置上插入一个值为X的新元素)
只能先移动最后一个元素
void Insert(ElementTyepe X,int i,List PtrL){ int j; if(PtrL->Last == MAXSIZE-1){ printf("表空间已满,不能插入"); return; } if(i<1 || i>PtrL->Last+2){ printf("位置不合法"); } for(j=PtrL->Last;j>=i-1;j--) PtrL->Data[j+1] = Ptrl->Data[j];//将ai~an倒序向后移动 PtrL->Data[i-1]=X;//新元素插入 PtrL->Last++;//Last仍指向最后元素 return; }
平均移动次数为n/2,平均时间性能为O(n)
4.删除(删除表的第i(1<= i<= n)个位置上的元素)
void Delete(int i,List PtrL){ int j; if(i<1 || i>PtrL->Last+1){//检查空表及删除位置的合法性 printf("不存在第%d个元素",i); return; }; for(j=i;j<=PtrL->Last;j++) PtrL->Data[j-1]=PtrL->Data[j];//将ai+1~an顺序向前移动 PtrL->Last--;//Last仍指向最后元素 return; }
平均移动次数是(n-1)/2,平均时间性能为O(n)
线性表的链式存储实现
- 不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻,通过“链”建立起元素之间的逻辑关系。
- 插入、删除不需要移动数据元素,只需修改“链”
typedef struct LNode *List;
//每个结点都是一个结构 struct LNode{ ElementType Data;//结点的数据 List Next;//下一个结点的位置 }; struct LNode L; List PtrL;
主要操作实现:
1.求表长
int Length(List PtrL){ List p=PtrL;//p指向表的第一个结点 int j=0; while(p){ p=p->Next; j++;//当前p指向的是第j个结点 } return j; }
平均时间性能:O(n)
2.查找
(1)按序号查找:FindKth;
List FindKth(int K,List PtrL){ List p=PtrL; int i=1; while(p!=NULL && i<K){ p=p->Next; i++; } if(i==K) return p;//找到第K个,返回指针 else return NULL;//否则返回空 }
(2)按值查找:Find
List Find(ElementType X,List PtrL){ List p=PtrL; while(p!=NULL && p->Data!=X){ p=p->Next; } return p; }
平均时间性能:O(n)
3.插入(在第i-1(1≤i≤n+1)个结点后插入一个值为X的新结点)
(1)先构造一个新结点,用s指向;
(2)再找到链表的第i-1个结点,用p指向
(3)然后修改指针,插入节点(p之后插入新结点是s)
执行顺序:(1)s->Next=p->Next;(2)p->Next=s;
思考:修改指针的两个步骤如果交换一下,将会发生什么?
如果语句执行顺序为:(1)p->Next=s;(2)s->Next=p->Next,则
将会导致s->Next指向其本身。
List Insert(ElementType X,int i,List PtrL){ List p,s; if(i==1){//新结点插入在表头 s=(List)malloc(sizeof(struct LNode))//申请、填装结点 s->Data=http://www.mamicode.com/X; s->Next=PtrL; return s;//返回新表头指针 } p=FindKth(i-1,PtrL);//查找第i-1个结点 if(p==NULL){//第i-1个不存在,不能插入 printf("参数i错误"); return NULL; }else{ s=(List)malloc(sizeof(struct LNode));//申请、填装结点 s->Data=http://www.mamicode.com/X; s->Next=p->Next;//新结点插入在第i-1个结点的后面 p->Next=s; return PtrL; } }
平均时间性能是:O(n/2)
4.删除(删除链表的第i(1≤i≤n)个位置上的结点)
(1)先找到链表的第i-1个结点,用p指向;
(2)再用指针s指向要被删除的结点(p的下一个结点);s=p->Next;
(3)然后修改指针,删除s所指结点;p->Next=s->Next;
(4)最后释放s所指结点的空间;free(s),这样内存空间才不会泄露。
思考:操作指针的几个步骤如果随意改变,将会发生什么?
s->Next将会指向其本身。
List Delete(int i,List PtrL){ List p,s; if(i==1){//若要删除的是第一个结点 s=PtrL;//s指向第一个结点 if(PtrL!=NULL) PtrL=PtrL-Next;//从链表中删除 else return NULL; free(s);//释放被删除结点 return PtrL; } p=FindKth(i-1,PtrL);//查找第i-1个结点 if(p==NULL){ printf("第%d个结点不存在",i-1); return NULL; }else if(p->Next==NULL){ printf("第%d个结点不存在",i); return NULL; }else{ s=p->Next;//s指向第i个结点 p->Next=s->Next;//从链表中删除 free(s);//释放被删除结点 return PtrL; } }
平均时间复杂性:O(n/2)
广义表
[例]我们知道了一元多项式的表示,那么二元多项式又该如何表示?
比如,给定二元多项式:P(x,y)=9x12y2+4x12+15x8y3-x8y+3x2
[分析]可以将上述二元多项式看成关于x的一元多项式:P(x,y)=(9y2+4)x12+(15y3-y)x8+3x2,它的系数不再是常量,而是一个关于y的多项式。
所以,上述二元多项式可以用“复杂”链表表示为:
广义表(Generalized List)定义:
- 广义表是线性表的推广
- 对于线性表而言,n个元素都是基本的单元素
- 广义表中,这些元素不仅可以是单元素也可以是另一个广义表
在广义表构造时,我们会遇到这样一个问题:一个域有可能是一个不能分解的单元素,有可能是一个指针,为了解决这个问题,C语言提供了Union
typedef struct GNode *GList; struct GNode{ int tag;//标识域:0表示结点是单元素,1表示结点是广义表 union{//子表指针域Sublist与单元素数据域Data复用,即共用存储空间 ElementType Data; GList Sublist; }URegion; GList Next;//指向后继结点 }
通过Tag来区分到底是Data还是SubList
多重链表
多重链表:链表中的节点可能同时隶属于多个链
- 多重链表中结点的指针域会有多个,如前面例子中包含了Next和SubList两个指针域;
- 但包含两个指针域的链表并不一定是多重链表,比如双向链表不是多重链表
多重链表有广泛的用途:基本上如树、图这样相对复杂的数据结构都可以采用多重链表的方式实现存储。
【例】矩阵可以用二维数组表示,但二维数组表示有两个缺陷:
- 一是数组的大小需要事先确定
- 对于“稀疏矩阵”,将造成大量的存储空间浪费
【分析】采用一种典型的多重链表——十字链表来存储稀疏矩阵
- 只存储矩阵非0元素项
- 结点的数据域:行坐标Row、列坐标Col、数值Value
- 每个结点通过两个指针域,把同行、同列串起来
- 行指针(或称为向右指针)Right
- 列指针(或称为向下指针)Down
矩阵A的多重链表图:存在两种结构类型
第一种:Term类型:它包含两个指针,一个指向同一行,一个指向同一列。同一行和同一列都设计成一个循环链表。
第二种:Head类型:作为行(列)链表的头结点
左上角的Term作为整个稀疏矩阵的入口,
- 4——表示稀疏矩阵的行数
- 5——表示稀疏矩阵的列数
- 7——表示稀疏矩阵含有的非零项数
用一个标志域Tag来区分头结点和非0元素结点:
头结点的标识值为“Head”,矩阵非0元素结点的标识值为“Term”。
线性结构