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2017/06/21

当矩阵$A$的特征值$\lambda_i$的代数重数$a_i$大于相应的几何重数$b_i$时，我们首先可以通过$\lambda_i I - A$找到$b_i$个特征向量$\{p_i^{(1)}, p_i^{(2)}, \cdots , p_i^{(b_i)}\}$。那剩下的$a_i - b_i$个特征向量哪里去了呢？

这前$b_i$个特征向量$\{p_i^{(a_i-b_i+1)}, p_i^{(a_i-b_i+2)}, \cdots , p_i^{(a_i)}\}$在$\mathcal{N}(\lambda_iI - A)$里：$$\{p_i^{(a_i-b_i+1)}, p_i^{(a_i-b_i+2)}, \cdots , p_i^{(a_i)}\} \subset \mathcal{N}(\lambda_iI - A).$$我们剩下的特征向量分别在$\mathcal{N}((\lambda_iI - A)^2),\mathcal{N}((\lambda_iI - A)^3),\cdots$里：$$(\lambda_i I - A)p_i^{(1)}=p^*,$$ $$(\lambda_i I - A)^2p_i^{(2)}=p_i^{(1)},$$ $$(\lambda_i I - A)^3p_i^{(2)}=p_i^{(1)},$$ 等等。其中$p^*$可以是$\{p_i^{(a_i-b_i+1)}, p_i^{(a_i-b_i+2)}, \cdots , p_i^{(a_i)}\}$中的任何一个。

关于Jordan标准形